valor propio y vector propio de $A^TP-PA$ si se conoce el valor propio de $A$

Question

Estoy pensando en la cuestión del título..

Supongamos que sabemos $Av = \lambda v$ y todos los valores propios de $A$ son diferentes (por lo que son diagonalizables). ¿Cómo son los vectores propios y los valores propios de $A^TP-PA$ ?

Sé que $A^TP - PA$ es un mapa lineal.

Obviamente, podemos dejar que $A = V\Lambda V^{-1}$ , donde $\Lambda$ es diagonal. Así que tenemos $$(V\Lambda V^{-1})^TP-P(V\Lambda V^{-1}) = V^{-T}\Lambda V^TP - PV\Lambda V^{-1}$$

entonces, ¿cómo puedo ir más allá? Supongo que para conseguir un formulario como $M\tilde{\Lambda}M^{-1}$ y puedo decir algo. ¿Cómo conseguir ese punto?

Answer 1

Hubo un pregunta reciente muy similar sobre $X \mapsto A X A^T$ . ¿Coincidencia?

La respuesta también es esencialmente la misma. Si $A^T v = \lambda v$ y $A^T w = \mu w$ son dos pares de valores propios y vectores propios para $A^T$ entonces $P = v w^T$ es un vector propio de su mapa lineal, con valor propio $\lambda - \mu$ . Si $A$ es diagonalizable, esto le da un conjunto completo de $n^2$ eigenvectores linealmente independientes de su mapa lineal.