Un cuadrilátero que tiene lados consecutivos de longitud $70,90,110,130$ está inscrito en un círculo y también tiene un círculo inscrito en él . El punto de tangencia de la circunferencia inscrita con el lado de longitud $130$ divide ese lado en segmentos de $x$ y $y$ . Si $y\geq x$ entonces cuál es el valor de $(y-x)$
Respuestas
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Llama al cuadrilátero $ABCD$ , con los lados $AB=70, BC=90, CD=130, DA=110$ es decir, en el orden
$$\begin{array}{ccc} A&\leftarrow70\rightarrow&B\\ \begin{array}{c}\uparrow\\110\\\downarrow\end{array}&O&\begin{array}{c}\uparrow\\90\\\downarrow\end{array}\\ D&E&C\\ &\leftarrow130\rightarrow&\\ \end{array}$$
Para $ABCD$ para ser cíclico, $\angle B + \angle D = 180^\circ$ Así que $\cos\angle B = -\cos\angle D$ . Considere el cuadrado de la longitud de $AC$ :
$$\begin{align*} AC^2 = 130^2+110^2 -2\times130\times110\cos\angle D =& 70^2+90^2-2\times70\times90\cos\angle B\\ \cos\angle D =& \frac{16000}{41200}\\ =& \frac{40}{103} \end{align*}$$
De la misma manera, $$\begin{align*} BD^2 = 110^2+70^2 -2\times110\times70\cos\angle A =& 130^2+90^2-2\times130\times90\cos\angle C\\ \cos\angle C =& \frac{8000}{38800}\\ =& \frac{20}{97} \end{align*}$$
Sea el centro del círculo inscrito $O$ y el punto de tangencia de la circunferencia inscrita en $CD$ sea $E$ . La línea $OC$ biseca $\angle BCD$ y la línea $OD$ biseca $\angle CDA$ . $OE$ es una línea perpendicular con $CD$ . Considere $\triangle OCD$ ,
$$OD\sin\angle ODE = OC\sin\angle OCE\\ OD\cos\angle ODE + OC\cos\angle OCE = 130$$
Con fórmulas de medio ángulo, $$\sin\angle ODE = \sqrt{\frac{1-\cos\angle CDA}{2}}\\ \cos\angle ODE = \sqrt{\frac{1+\cos\angle CDA}{2}}\\ \sin\angle OCE = \sqrt{\frac{1-\cos\angle BCD}{2}}\\ \cos\angle OCE = \sqrt{\frac{1+\cos\angle BCD}{2}}$$
Esto debería ser suficiente para encontrar la relación $OD:OC$ y, por lo tanto, averiguar los dos $DE$ y $CE$ .
Toby
Puntos
110
En primer lugar, perdón por revivir este hilo de hace dos años. Busqué este problema en este StackExchange y esperaba encontrar una respuesta razonable, pero no lo conseguí. Sin embargo, con un poco de trabajo cuidadoso, he encontrado una respuesta definitiva al problema y deseo colocarla aquí. También me gustaría señalar que @peterwhy tiene razón al notar que las longitudes deben ser $70, 90, 130, 110$ consecutivamente.
Abordamos el problema con álgebra y triángulos similares. Sea $O$ sea el centro del círculo inscrito, $AB = 70,$ $BC = 90,$ $CD = 130,$ y $AD = 110.$ Desde $O,$ trazamos radios perpendiculares a los segmentos tangentes. Sea $P, Q, R, S$ sean los puntos de tangencia en $AB, BC, CD, AD,$ respectivamente. Además, dejemos que $$AS = AP = w,$$ $$BP = BQ = x,$$ $$CQ = CR = y,$$ y $$DR = DS = z.$$
De ello se desprende que $$w + z = 70,$$ $$z + y = 90,$$ $$y + x = 130,$$ y $$x + w = 110.$$
El sistema anterior no da una solución única, lo cual es de esperar. Ahora utilizamos el hecho de que el cuadrilátero es cíclico (lo que significa que puede inscribirse en una circunferencia). La solución dada por @peterwhy utiliza este hecho, pero da un giro equivocado al utilizar la trigonometría extensiva. Veamos cómo podemos utilizar este hecho a nuestro favor.
Porque $ABCD$ es cíclico, los ángulos $QCR$ y $SAP$ debe añadir a $180$ grados. Porque $OC$ y $OA$ cada bisectriz $QCR$ y $SAP,$ respectivamente, se deduce rápidamente que los triángulos $COR$ y $OAS$ son triángulos rectángulos semejantes. Como $OR = OS = r,$ el radio del círculo inscrito, entonces tenemos $$\frac{w}{r} = \frac{y}{x}$$ $$wy = r^{2}.$$ Utilizando un argumento similar para los triángulos $DOR$ y $OBQ,$ tenemos $$xz = r^{2},$$ y combinamos los dos para obtener $$wy = xz.$$
Ahora podemos encontrar una solución única. Utilizando las sustituciones $w = 110 - x$ y $z = 90 - y,$ tenemos $$x(90 - y) = (110 - x)y$$ $$90x - xy = 110y - xy$$ $$90x = 110y$$ $$x = \frac{11}{9}y.$$
Podemos sustituir esto por $x + y = 130$ y encontrar que $y = \frac{117}{2}.$ Dado que la diferencia positiva entre $x$ y $y$ es $x - y = \frac{11}{9}y - y = \frac{2}{9}y,$ tenemos nuestra respuesta final de $\frac{2}{9} \times \frac{117}{2} = \boxed{13}.$
Esta es la respuesta correcta.
