Prueba $\{(\omega,y) \in \Omega \times [0,\infty) \ | \ y \leqslant f(\omega) \}$ está en el producto $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$

Question

Tenemos un $\sigma$ -espacio de medida finita $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ una función medible no negativa $f:\Omega \to \mathbb{R}$ y

\begin{equation} G_f := \{(\omega,y) \in \Omega \times [0,\infty) \ | \ y \leqslant f(\omega) \}. \end{equation}

El Borel $\sigma$ -álgebra en $[0,\infty)$ se denota por $\mathcal{B}$ . El objetivo es demostrar que

\begin{equation} G_f \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} \quad \text{(the product $\sigma$-algebra of $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$).} \end{equation}

Mi enfoque actual:

Desde $f$ es medible, se deduce que ${G_f}^y := \{\omega \in \Omega \ | \ f(\omega) \geqslant y\} \in \mathcal{A}$ desde $f$ es medible (esto se deduce de un teorema elemental que podemos utilizar). Además, como $\{y\}$ está cerrado para cualquier $y\in[0,\infty)$ también tenemos que $\{y\}\in\mathcal{B}$ ya que $\mathcal{B}$ está generado por todos los subconjuntos cerrados de $[0,\infty)$ . En consecuencia,

\begin{equation} {G_f}^y \times \{y\} \in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} \quad \text{for each } y\in [0,\infty). \end{equation}

Ahora bien, como

\begin{equation} G_f = \bigcup_{y\in[0,\infty)}{G_f}^y \times \{y\}, \end{equation}

sería tentador concluir que también $G_f\in \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ . Sin embargo, esta unión no es contable, por lo que no se garantiza que esté incluida en $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ .

Estoy un poco atascado en este punto, ¡cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Por definición, $ G_f $ = { $(\omega, Y) \in \Omega \times [0, \infty) | 0 \leq f(\omega) - y$ }

Definir $ g : \Omega \times [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} $ como $ g( \omega, y) = f(\omega) -y$ y demostrar que $g$ es una función medible. Aquí, $[0, \infty)$ es el espacio de medidas con el álgebra sigma de Borel. A continuación, dado que $g ^{-1} ( [0, \infty) ) $ es medible en $\Omega \times [0, \infty)$ y este conjunto es igual a $G_f$ Tenemos el resultado.

Answer 2

Definir $F\colon \Omega\times \left[0,+\infty\right)\to \mathbb R$ por $F\left(\omega,y\right)=f\left(\omega\right)-y$ . Si dotamos $ \Omega\times \left[0,+\infty\right)$ con el $\sigma$ -Álgebra $\mathcal A\otimes \mathcal B$ la función $F$ es medible. Dado que $G_f:=F^{-1}\left(\left[0,+\infty\right)\right)$ concluimos.