¿Por qué la salida de un filtro se considera el 70,7% de la entrada al determinar la frecuencia de corte?

Question

He visto en muchos libros que al encontrar la frecuencia de corte de un filtro (a partir de la función de transferencia) la salida se considera el 70,7% de la entrada.

¿Por qué el 70,7%?

¿Por qué no el 50% o el 20%?

Answer 1

La gran ventaja del punto de potencia del 50% es su simetría: si se intercambian la R y la C en el clásico filtro de paso bajo de la respuesta de Andy, se obtiene un filtro de paso alto con la misma frecuencia de corte .

Si eligieras cualquier otro punto (como el 50% de la tensión, el 25% de la potencia) seguirías obteniendo un filtro de paso alto... pero tendrías que volver a calcular la frecuencia de corte porque sería diferente para los mismos valores de componentes.

Sólo el punto de potencia del 50% (ganancia de -3dB, atenuación de 3dB, tensión de 0,707) le da la misma frecuencia de corte para filtros equivalentes con los mismos componentes.

En retrospectiva, es bastante obvio que pasar el 50% de la potencia equivale a detener el 50% de la potencia, y eso no es válido para ninguna otra proporción.

Esto se aprovecha en algunos textos de diseño de filtros centrándose en profundidad en una forma de filtro (generalmente el filtro de paso bajo) y describiendo a grandes rasgos los demás filtros. Se puede diseñar un filtro de paso alto siguiendo el proceso de diseño de un filtro de paso bajo y, a continuación, seguir un proceso sencillo para derivar el filtro HP (o de paso de banda o de parada de banda) equivalente que realmente se desea.

Answer 2

¿Por qué el 70,7%? ¿Por qué no el 50% o el 20%?

Cuando una tensión cae al 70,7%, la potencia efectiva que puede producir en una carga resistiva se reduce a la mitad.

Por lo tanto, lo importante es tener en cuenta que una reducción de potencia del 50% equivale a que la tensión se reduzca a \$\sqrt{0.50} = 0.70710678\$ o el 70,7% aproximadamente.

_{¿Por qué un 50% de potencia y un 70,71% de tensión en un simple filtro RC?}

Si tomas un simple filtro RC de paso bajo como este: -

Verás que la frecuencia de corte del filtro, \$F_C\$ es cuando: -

$$R = |X_C|$$

También verás que la tensión de salida estará al 70,71% respecto a la de entrada. Esto se debe a Pitágoras y el triángulo de la impedancia : -

Así que, utilizando a Pitágoras, cuando \$R = |X_C|\$ la impedancia neta de entrada \$ = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt2\cdot R\$ .

Esto significa que la corriente en el filtro RC se reduce en \$\sqrt2\$ en comparación con el actual si \$V_{IN}\$ se aplicó a cualquiera de R o \$X_C\$ . Por supuesto, esto significa que la amplitud de la tensión en la salida se reduce en \$\sqrt2\$ . También se deduce que el desplazamiento de fase entre la salida y la entrada es de 45°.

Esto es lo que obtenemos para un filtro RC simple (paso bajo o paso alto) cuando tenemos magnitudes iguales para R y \$X_C\$ .

Answer 3

Pues bien, no es una tarea sencilla explicar por qué se acordó una determinada definición. Por supuesto, esa definición para el final de una banda de paso debería "tener sentido". Pero, ¿qué significa esto?

• Una posible explicación es -como se menciona en las contribuciones existentes- basada en consideraciones de potencia.

• Como otra explicación la CAMBIO DE FASE podría utilizarse. Dado que este circuito de primer orden permite un desplazamiento de fase máximo de 90 grados (paso bajo: frecuencias muy grandes, paso alto: frecuencias muy bajas), tiene sentido definir la frecuencia con 45 grados de desplazamiento de fase como final de la banda de paso (cut-off). En esta frecuencia, la parte real y la imaginaria del denotador son iguales. Esto es, por supuesto, idéntico a la definición de 3dB basada en la amplitud.

• Hay que tener en cuenta que para los filtros de orden superior existen otras definiciones, dependiendo de la función de transferencia específica (Butterworth: corte de 3 db, Chebyshev: orientado a la aplicación). Para la respuesta BESSEL-Thomson, el corte se define, en algunas aplicaciones, incluso en el dominio del tiempo (basado en el retardo de grupo).

• Otra razón para definir la inversa de la constante de tiempo RC como extremo de banda pasante es la siguiente: Utilizando esta definición, los parámetros del filtro del primer codificador se ajustan muy bien al sistema de órdenes de filtro superiores. El denominador de la función de transferencia de primer orden es D(s)=1+sRC . El cero de esta función da el polo de la función de transferencia: sp=-1/RC en el plano de frecuencias complejas (en este caso sencillo: en el eje real negativo). La magnitud de este polo real negativo es idéntica a la del llamado " frecuencia de los polos ".

• Esta es una buena razón para definir esta frecuencia del polo wp como la frecuencia de corte wp=wc=1/RC . ¿Por qué? Porque también para todos los filtros de 2do. (y para las cascadas de bloques de segundo orden), es la frecuencia del polo (wp=|sp|) la que desempeña el papel principal en el proceso de diseño de estructuras de filtros de orden superior.

• Ejemplos: Para las respuestas BUTTERWORTH de 2º orden también tenemos wp=wc (con un corte de 3dB) y para todas las funciones de paso de banda de 2º orden también tenemos la frecuencia central idéntica a la frecuencia del polo (wo=wp).

Answer 4

Porque el 70,7% de la tensión de salida significa la mitad de la potencia inicial:

$$ P = \frac{V^2}{R_L}\\ P'=\frac{(0.707\ V)^2}{R} = 0.5\ \frac{V^2}{R_L} = 0.5\ P $$

Si preguntas "¿Por qué la mitad de la potencia inicial?", no tiene explicación (al menos, yo no lo sé). Tal vez sobre el audio, o tal vez otra cosa.

Todo lo que sabemos es que el punto en el que la potencia inicial se reduce a su 50% se considera el punto de corte.

Answer 5

El corte está en el 50% de la potencia, que es - 3dB. Esto es por convención.

Para la tensión, calculamos la relación Vo/Vi en dB como 20 log(10) Vo/Vi.

Introduciendo - 3 en esta ecuación para Vo/Vi se obtiene 0,707 que también es sin45 y cos45.