Demostrar que $\langle \{a+b\sqrt[3]2 \mid a, b \in \mathbb{Q}\}, +, \cdot \rangle$ no es un campo

Question

Tengo esta pregunta en mi curso de análisis real:

Demostrar que $\langle \{a+b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}, +, \cdot \rangle$ es un campo, pero $\langle \{a+b\sqrt[3]{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}, +, \cdot \rangle$ no lo es.

Obviamente, he comprobado las propiedades del campo (cierre, conmutatividad, asociatividad, identidad, inversa y distributividad) y todas son correctas excepto la inversa. La inversa aditiva es trivial en ambos casos, y en el primer caso encontré que lo siguiente es una inversa de $a+b\sqrt{2}$ :

$$\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}$$

$\forall$ $a, b \in \mathbb{Q}$ . No he podido reproducir un resultado similar para el segundo conjunto, lo que me lleva a pensar que una prueba de que la inversa no siempre existe es el quid del argumento.

¿Alguna pista sobre cómo puedo probar esto?

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Nota: Todavía no he tenido un curso de álgebra abstracta/moderna, así que sólo conozco la definición de un campo y no las propiedades que pueda poseer.

Answer 1

Si $2^{2/3} = a+b2^{1/3}$ entonces $2^{1/3}$ es una raíz de $X^2-bX-a$ lo que significa que $2^{1/3} = \frac{b\pm \sqrt{b^2+4a}}{2}$ una contradicción evidente.

(si lo prefiere, entonces $X^3-2\in \Bbb{Q}[x]$ es irreducible por lo que $2^{1/3}$ no puede ser la raíz de un polinomio de grado dos en $\Bbb{Q}[x]$ )

Answer 2

Como J.W. Tanner y leoli1 mencionado en sus comentarios, el segundo conjunto no satisface la cierre propiedad debido a $(\sqrt[3]{2})^2$ no ser un elemento. Por lo tanto, no es un campo y hemos terminado.