Encontrar el orden del grupo de factores

Question

El profesor proporcionó un ejemplo sencillo, como el orden de $\Bbb Z _6 / \langle 3 \rangle$ : $|\Bbb Z _6| = 6$ y $| \langle 3 \rangle | = 2$ Así que $| \Bbb Z _6 / \langle 3 \rangle | = 3$ .

Pensé "¡bueno, ya lo tengo!" pero empecé a practicar el tema " grupo de factores " y encontré algo así:

encontrar el orden del grupo de factores $(\Bbb Z _{12} \times \Bbb Z _4) / (\langle 2 \rangle \times \langle 2 \rangle)$ .

Supongo que multiplicamos $12 \times 4$ por $\Bbb Z _{12} \times \Bbb Z _4$ ¿verdad? ¿Hacemos lo mismo con el otro lado?

Él proporcionó esta fórmula: $|\Bbb Z _n / \langle a \rangle| = n / |\langle a \rangle| = \dfrac n {\frac n {\gcd(n,a)}}$ .

Por lo tanto, ¿se trata de $\Bbb Z _{12} \times \Bbb Z _4$ se convierten en $\Bbb Z _n$ y $\langle 2 \rangle \times \langle 2 \rangle$ se convierten en $\langle a \rangle$ ?

Answer 1

El orden de $2$ en $\Bbb Z _{12}$ es $6$ (porque $2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 0$ ), por lo que $| \langle 2 \rangle | = 6$ . De la misma manera, $| \langle 2 \rangle | = 2$ en $\Bbb Z _4$ . Por lo tanto, el orden de $\langle 2 \rangle \times \langle 2 \rangle$ en $\Bbb Z _{12} \times \Bbb Z _4$ es $6 \cdot 2 = 12$ .

El orden de $\Bbb Z _{12} \times \Bbb Z _4$ es $12 \times 4$ (como usted estaba sospechando), así que por Teorema de Lagrange el orden del grupo de factores $(\Bbb Z _{12} \times \Bbb Z _4) / \langle 2 \rangle \times \langle 2 \rangle)$ es el cociente de los respectivos órdenes, es decir $\dfrac {48} {12} = 4$ .

En este ejemplo extremadamente sencillo el grupo cociente es isomorfo a $\Bbb Z _{12} / \langle 2 \rangle \times \Bbb Z _4 / \langle 2 \rangle = \Bbb Z_2 \times \Bbb Z_2$ pero tenga en cuenta que en general es no es cierto que $(A \times B) / (I \times J) = A/I \times B/J$ .

Answer 2

Lo tenemos: $$(\mathbf Z_{12}\times\mathbf Z_4)/(2\mathbf Z_{12}\times2\mathbf Z_4)\simeq\mathbf Z_{12}/2\mathbf Z_{12}\times\mathbf Z_4/2\mathbf Z_4\simeq\mathbf Z_2\times\mathbf Z_2,$$ por el tercer teorema del isomorfismo por lo que el orden del cociente es $4$ .