Yo empezaría por proyectar los dos puntos en el plano mediante la técnica estándar: moverlo por algún múltiplo del vector normal hasta que satisfaga la ecuación del plano. El resultado puede no tener coordenadas enteras, por lo que para el cómputo práctico puedes considerar pre-escalar todo de manera que la división durante este proceso siempre salga entera; el divisor depende sólo del vector normal, no de los puntos variables.
El punto de proyectar explícitamente en el plano es que entonces puedes proyectar todo abajo a la $xy$ plano (o $xy$ o $yz$ si el vector normal se encuentra en el $xy$ plano), incluyendo el paralelogramo base.
Una vez que estés en 2D, traslada para que el original de tu paralelogramo base esté en $(0,0)$ y luego convertir las coordenadas de los dos puntos variables en el sistema de coordenadas definido por el paralelogramo. A continuación, ver de las partes enteras de las coordenadas son los mismos.
La conversión al sistema de coordenadas del paralograma puede hacerse tomando el producto cruzado 2D entre el punto y cada arista del paralelogramo, y dividiendo por el producto cruzado de las dos aristas del paralelogramo mismas. (Hay algunas sutilezas de signos aquí, pero resulta que puede Esta división final no puede ser evitada; es descartar el resto de ella que le dará la información de "la misma baldosa".
La ventaja de pasar a 2D es que allí el resultado de un producto cruzado es un simple escalar y necesitas su magnitud y signo. Podrías tomar los productos cruzados en 3D también, pero entonces los productos cruzados serían vectores, y necesitarías raíces cuadradas para encontrar sus magnitudes y una lógica especial para compensar la falta de signo intrínseco en las magnitudes.
