la raíz cuadrada positiva de $I$ ?

Question

Buscar operadores $T \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ tal que $T^2=I$ . ¿Cuál es la raíz cuadrada positiva de $I$ ? ¿Existe el operador $T$ tal que $T(T(x))=I$ donde $I(x)=x$ ?

Answer 1

Hay muchas soluciones para $T\circ T=I$ para los operadores lineales $T$ en un espacio vectorial real de dimensión $~n$ . Siempre tienes $T=I$ y $T=-I$ como solución, y también cualquier operador diagonalizable con valores propios $1$ y $-1$ (y además todas estas son soluciones). Para $n=2$ las últimas son reflexiones con respecto a alguna recta que pasa por el origen, paralela a otra recta que pasa por el origen.

No existe una noción general de positividad definida para todos los operadores lineales. Hay una para simétrico (con respecto a un producto interno dado), y la noción excluye claramente los valores propios $~1$ por lo que la única solución positiva (simétrica) que queda sería $T=I$ .

Answer 2

Prueba con $T(x,y)=(-x,-y)$ y, en general, cualquier reflexión sobre el origen.

Answer 3

En esta respuesta, trabajo en términos de $2 \times 2$ matrices reales.

Establecer

$T = \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} \\ t_{21} & t_{22} \end{bmatrix}; \tag{1}$

entonces

$T^2 = \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} \\ t_{21} & t_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_{11} & t_{12} \\ t_{21} & t_{22} \end{bmatrix}$ $ = \begin{bmatrix} t_{11}^2 + t_{12}t_{21} & (t_{11} + t_{22}) t_{12} \\ (t_{11} + t_{22}) t_{12} & t_{22}^2 + t_{12}t_{21} \end{bmatrix}; \tag{2}$

ajuste

$T^2 = I, \tag{3}$

vemos que

$t_{11}^2 + t_{12}t_{21} = t_{22}^2 + t_{12}t_{21} = 1 \tag{4}$

y

$ (t_{11} + t_{22}) t_{12} =  (t_{11} + t_{22}) t_{21} = 0. \tag{5}$

De (5) se desprende que podría ser sencillo clasificar las soluciones de $T^2 = I$ según $\text{Tr}(T) = t_{11} + t_{22}$ En efecto, si $\text{Tr}(T) \ne 0$ , entonces a partir de (5) tenemos

$t_{12} = t_{21} = 0, \tag{6}$

dejándonos por (4) con

$t_{11}^2 = t_{22}^2 = 1. \tag{7}$

De (7),

$t_{11}, t_{22} \in \{1, -1 \}, \tag{8}$

y como $\text{Tr}(T) \ne 0$ Debemos tener

$t_{11} = t_{22} = \pm 1 \tag{9}$

en este caso; así

$T = \pm I. \tag{10}$

En el caso de que $\text{Tr}(T) = 0$ tenemos $t_{22} = - t_{11}$ por lo que podemos escribir

$-t_{22} = t_{11} = \alpha \in \Bbb R; \tag{11}$

esto implica a su vez, utilizando (4), que

$t_{12}t_{21} = 1 - \alpha^2; \tag{12}$

si $\alpha^2 \ne 1$ (12) muestra que $t_{12} \ne 0 \ne t_{21}$ por lo que si establecemos

$t_{12} = \beta \in \Bbb R, \;\; \beta \ne 0, \tag{13}$

tenemos

$t_{21} = \dfrac{1 - \alpha^2}{\beta}; \tag{14}$

ahora la matriz $T$ se ve así:

$T = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \dfrac{1 - \alpha^2}{\beta} & -\alpha \end{bmatrix}; \tag{15}$

cuando $\alpha^2 = 1$ al menos uno de $t_{12}$ , $t_{21}$ debe desvanecerse, dejándonos elegir libremente la otra.  En este caso, $T$ puede escribirse de una de las formas siguientes

$T = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ 0 & -\alpha \end{bmatrix} \tag{16}$

o

$T = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ \beta & -\alpha \end{bmatrix}, \tag{17}$

donde $\alpha = \pm 1$ y $\beta \in \Bbb R$ es arbitraria.  Se puede comprobar fácilmente que $T^2 = I$ para matrices de la forma (15)-(17) cuando los parámetros toman los valores especificados.

Así, entre (10), (15)-(17), cada posible $2 \times 2$ matriz real $T$ con $T^2 = I$ se presenta de forma paramétrica.

El mismo método, a saber Los análisis clasificados por la traza pueden utilizarse para determinar paramétricamente otras familias de $2 \times 2$ matrices cuyo cuadrado está restringido de una manera u otra.  Por ejemplo, se puede dejar que $T^2 = -I$ o $T^2 = T$ y realizar un análisis paralelo.  Sin embargo, no conozco ninguna forma de extender esta técnica a matrices de mayor tamaño; la traza por sí mismo no se produce como factor de las entradas de $T^2$ si $\text{size}(T) \ge 3$ .

La noción de positividad se aplica técnicamente sólo a los operadores simétricos, pero podemos examinar $x^T T x$ whrn $T$ toma una de las formas dadas aquí y ve lo que obtenemos.  Por ejemplo, con $T$ como en (15) encontramos, tomando $x = (x_1, x_2)^T$ ,

$x^T Tx = (x_1, x_2) \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \dfrac{1 - \alpha^2}{\beta} & -\alpha \end{bmatrix} (x_1, x_2)^T$ $= (x_1, x_2)(\alpha x_1 + \beta x_2, \dfrac{1 - \alpha^2}{\beta} x_1 - \alpha x_2)^T$$ = \alpha x_1^2 + \beta x_1 x_2 + \dfrac{1 - \alpha^2}{\beta} x_1 x_2 - \alpha x_2^2 $ $ = \alpha(x_1^2 - x_2^2) + \dfrac{1 - \alpha^2 + \beta^2}{\beta} x_1 x_2. \tag{18}$

De (18) vemos que $T$ de la forma (15) no puede ser positiva para ningún valor permitido de nuestros parámetros $\alpha, \beta \in \Bbb R$ .  Porque si $\alpha > 0$ podemos seleccionar $x_1 = 0$ $x_2 \ne 0$ y obtener $x^T T x = -\alpha x_2^2 < 0$ para $\alpha < 0$ invertimos los papeles de $x_1$ , $x_2$ y establecer $x_1 \ne 0$ , $x_2 = 0$ Entonces $x^T T x = \alpha x_1^2$ y obtenemos el mismo resultado.  Cuando $\alpha = 0$ tenemos

$x^T T x = \dfrac{1 + \beta^2}{\beta} x_1 x_2; \tag{19}$

desde $1 + \beta^2 > 0$ , eligiendo $x_1$ , $x_2$ tal que $(x_1 x_2)/\beta < 0$ produce $x^T Tx < 0$ .  Para $T$ de la forma (16) (para que $\alpha^2 = 1$ ) encontramos

$x^T T x = (x_1, x_2) \begin{pmatrix} \alpha x_1 + \beta x_2 \\ -\alpha x_2 \end{pmatrix} = \alpha(x_1^2 - x_2^2) + \beta x_1 x_2, \tag{20}$

de la cual vemos igualmente que tal $T$ es no positivo; asimismo, cuando $T$ es como en (17).  Por lo tanto, se deduce que $T$ sólo puede ser positivo cuando $\text{trace}(T) \ne 0$ Por lo que hemos visto, esto implica $T = I$ .

Por último, cuando puede $T$ sea simétrica, $T^T = T$ ?  Si $\text{trace}(T) \ne 0$ , $T = \pm I$ es siempre así; cuando $T$ es como en (16), (17), vemos que $T^T = T$ fuerzas $\beta = 0$ para el caso (15), donde recordamos $\alpha^2 \ne 1$ La simetría de $T$ fuerzas

$\dfrac{1 - \alpha^2}{\beta} = \beta \tag{21}$

o

$\alpha^2 + \beta^2 = 1. \tag{22}$

(22) indica que podemos reducir aún más el número de parámetros de $T$ a uno a través de la sustitución trigonométrica

$\alpha = \cos \theta, \;\; \beta = \sin \theta, \tag{23}$

con $\theta \in [0, 2\pi)$ ; tenga en cuenta que podemos permitir $\alpha = \cos \theta$ para asumir los valores $\pm 1$ en esta formulación, ya que se trata del caso $t_{12} = t_{21} = \beta$ los casos (16), (17) con $\beta \ne 0$ se eliminan por la suposición de que $T^T = T$ . En función de $\theta$ , $T$ parece:

$T(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix}; \tag{24}$

Desde $T^T = T$ y $T^2 = I$ tenemos $T^T T = I$ ; $T$ es de hecho una matriz ortogonal; es fácil ver que $\det(T) = -\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = -1$ por lo tanto $T(\theta) \in O(2)$ pero $T(\theta) \notin SO(2)$ . También podemos escribir $T(\theta)$ como

$T(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix} = R S(\theta), \tag{25}$

donde

$R = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \in O(2) \setminus SO(2) \tag{26}$

y

$S(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \in SO(2); \tag{27}$

$S(\theta)$ es una rotación estándar a través de un ángulo $\theta$ en el sentido de las agujas del reloj; $R$ ia reflexión sobre la $x$ -eje; así caracterizamos la simetría $T$ tal que $T^2 = I$ .

Creo que lo anterior presenta una clasificación completa de los verdaderos $2 \times 2$ matrices $T$ con $T^2 = I$ .