¿Cómo puedo resolver esta integral? $\int e^{-t/2}\sin(3t) dt$ ?

Question

Posible duplicado:
¿Nombre de esta identidad? $\int e^{\alpha x}\cos(\beta x) \space dx = \frac{e^{\alpha x} (\alpha \cos(\beta x)+\beta \sin(\beta x))}{\alpha^2+\beta^2}$

Puede que se me haya escapado alguna técnica de Calc 2, pero esta integral me está retrasando. Cuando lo comprobé con WolframAlpha, utilizó una fórmula que no reconocí.

¿Cómo puedo resolver $\int e^{-t/2}\sin(3t) dt$ ?

La fórmula que utiliza WolframAlpha es ésta:

$$\int e^{\alpha t}\sin(\beta t)dt=\frac{e^{\alpha t}(-\beta \cos(\beta t)+\alpha \sin(\beta t)}{\alpha ^2+\beta ^2}$$

No sé de dónde viene esta fórmula.

Answer 1

El truco consiste en integrar por partes dos veces, y notar que se ha "ciclado" hasta el inicio". Aquí tienes un ejemplo más sencillo, que puedes imitar para resolver tu problema:

$$\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx=e^x\sin x-\left[e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)dx\right]$$

Mirando la primera parte y la última parte y resolviendo para $\int e^x\sin x\,dx$ se obtiene la respuesta:

$$ 2\int e^x\sin x\,dx=e^x\sin x-e^x\cos x $$

$$ \int e^x\sin x\,dx=e^x(\sin x-\cos x)/2 $$

Su problema será un poco más difícil porque contiene coeficientes en la función exponencial y trigonométrica. Si tienes cuidado y aplicas la regla de la cadena correctamente y con cuidado, no tendrás ningún problema.

Answer 2

En general, si quiere encontrar $$ \int e^{ax}\cdot \sin{bx}\cdot dx$$ puedes argumentar lo siguiente:

Tenga en cuenta que para cualquier $\alpha$ o $\beta$ , usted tiene

$$\eqalign{ & \frac{d}{{dx}}\left( {{e^{\alpha x}}\sin \beta x} \right) = \alpha {e^{\alpha x}}\sin \beta x + \beta {e^{\alpha x}}\cos \beta x \cr & \frac{d}{{dx}}\left( {{e^{\alpha x}}\cos \beta x} \right) = \alpha {e^{\alpha x}}\cos \beta x - \beta {e^{\alpha x}}\sin \beta x \cr} $$

de modo que cualquier integral de la forma

$$ \int e^{\alpha x}\cdot \sin{\beta x}\cdot dx$$

es una combinación lineal de las funciones anteriores. Entonces, encontremos $c_1$ y $c_2$ tal que

$$\frac{d}{{dx}}\left( {{c_1}{e^{\alpha x}}\sin \beta x + {c_2}{e^{\alpha x}}\cos \beta x} \right) = {e^{\alpha x}}\sin \beta x$$

$${c_1}\alpha {e^{\alpha x}}\sin \beta x + {c_1}\beta {e^{\alpha x}}\cos \beta x + {c_2}\alpha {e^{\alpha x}}\cos \beta x - {c_2}\beta {e^{\alpha x}}\sin \beta x = {e^{\alpha x}}\sin \beta x$$

Esto significa que necesitamos

$$\eqalign{ & {c_1}\alpha - {c_2}\beta = 1 \cr & {c_1}\beta + {c_2}\alpha = 0 \cr} $$

Esto dará con poco trabajo

$$\eqalign{ & {c_1} = \frac{\alpha }{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} \cr & {c_2} = - \frac{\beta }{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} \cr} $$

lo que significa que, en general:

$$\int {{e^{\alpha x}}} \cdot\sin \beta x\cdot dx = {e^{\alpha x}}\frac{{\alpha \sin \beta x - \beta \cos \beta x}}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} + C$$

Análogamente, obtendrá que

$$\int {{e^{\alpha x}}} \cdot\cos \beta x\cdot dx = {e^{\alpha x}}\frac{{\alpha \cos \beta x + \beta \sin \beta x}}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} + C$$

Esto es lo mismo que aquí pero el sistema no me deja enlazar.