Algoritmo de intervalo de confianza

Question

Estoy tratando de escribir un programa en C++ para la estimación de parámetros (con información de intervalos de confianza) de un conjunto de datos distribuidos exponencialmente. Entiendo que $\lambda \bar{X} \sim \Gamma(n, n)$ . Para obtener los valores numéricos de los intervalos de confianza inferior/superior para un $\alpha$ Necesito poder calcular la Gamma Inversa. ¿Podría indicarme algunos algoritmos?

Answer 1

O bien he entendido mal el problema, o lo estáis haciendo más difícil de lo necesario.

Dejemos que $L$ y $U$ probabilidad de corte $\alpha/2$ de las colas inferior y superior de $Gamma(shape=n,rate=n),$ Entonces un $1 - \alpha$ intervalo de confianza para $\lambda$ se encuentra de la siguiente manera: $$P(L < \lambda \bar X < U) = P(L/\bar X < \lambda < U/\bar X) = 1-\alpha,$$ por lo que el IC deseado es $(L/\bar X,\; U/\bar X)$ .

No es difícil programar la integración numérica para encontrar $U$ y $L$ porque el PDF de $Gamma(n,n)$ puede ser evaluado. Como alternativa, estoy seguro de que debe haber un programa FORTRAN compilado en la biblioteca IMSL de algoritmos estadísticos que pueda ser llamado desde C++.

En particular, si $X_1, X_2, \dots, X_{25}$ es una muestra aleatoria de $Exp(rate = .2),$ podríamos tener la siguiente muestra (redondeada a 3 cifras):

  1.515  0.187  6.270  3.291  3.597 10.680  1.572 22.555  4.924  0.063
  0.214  0.465 19.042  2.467  4.663  2.101  7.597 10.053  0.017  5.627
 12.124  7.579  0.735 11.290  4.153

La media de la muestra es $\bar X = 5.711.$ Los puntos de corte para un 95% de CI de R son

 qgamma(c(.025,.975), 25, 25)
 ## 0.6471473 1.4284039

para que el IC del 95% sea

 qgamma(c(.025,.975), 25, 25)/mean(x)
 ## 0.1133112 0.2501040

El estimador de máxima verosimilitud (ligeramente sesgado) de $\lambda$ en este ejemplo es $\hat \lambda = 1/\bar X = 0.175,$ que está contenida en el IC, pero no exactamente en el centro del mismo, debido a la asimetría de las distribuciones implicadas.

El artículo de Wikipedia sobre la "distribución exponencial" muestra cómo obtener esencialmente el mismo IC usando tablas impresas de la distribución chi-cuadrado. (La distribución chi-cuadrado es un miembro de la familia de distribuciones gamma, por lo que una expresión equivalente expresión es factible).