Cómo demostrar la independencia lineal de un conjunto de combinaciones lineales de vectores ortogonales

Question

Dado un conjunto de $m$ vectores ortogonales $\{\phi_1, \dots, \phi_m\}$ muestran que si se forma cualquier $n>m$ combinaciones lineales de ellos :

$$ \begin{align} v_1 & = a_{11} \phi_1+ \dots+ a_{1m} \phi_m \\ v_2 & = a_{21} \phi_1+ \dots+ a_{2m} \phi_m \\ & \vdots \\ v_n & = a_{n1} \phi_1+ \dots+ a_{nm} \phi_m \end{align} $$

( $a_{ij}$ coeficientes arbitrarios),

entonces $\{v_1,\dots,v_n\}$ no puede ser un conjunto linealmente independiente.

Answer 1

Dejemos que $W=\operatorname{span}(\phi_1, \dots, \phi_m)$ y $U=\operatorname{span}(v_1,\dots,v_n)$ . $\dim W=m$ porque los vectores son ortogonales, y $U \subseteq W$ . Esto implica que $\dim U\leq \dim W$ . Pero $n > m$ por lo que los vectores no pueden ser linealmente independientes.

Answer 2

He aquí un enfoque. Supongamos, para simplificar, que son ortonormales ( $\langle \phi_i,\phi_j\rangle =\delta_{ij}$ ). Ahora, seguimos los pasos

paso 1: construir los vectores

$$ v_k = \sum_{i=1}^{m}a_{k i} \phi_i \quad k=1,2,\dots n, $$

que son las combinaciones lineales del conjunto ortonormal dado.

paso 2: hacemos las combinaciones lineales de los vectores $v_k's,\quad k=1,\dots,n$ y ponerlo a cero

$$ \sum_{j=1}^{n}b_j v_j =0 \implies \sum_{j=1}^{n}b_j \sum_{i=1}^{m}a_{j i} \phi_i=0. $$

paso 3: Tomar el producto punto de la ecuación anterior con respecto a $\phi_s,\quad s=1,\dots,m $ como

$$ \langle \sum_{j=1}^{n}b_j \sum_{i=1}^{m}a_{j i} \phi_i, \phi_s \rangle = 0, \quad s=1,2,\dots,m. $$

$$ \implies \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}b_j\,a_{j i} \delta_{is}=0,\quad s=1,\dots,m. $$

$$ \implies \sum_{j=1}^{n} b_j\,a_{j s} \delta_{ss}=0, \quad s=1,\dots,m. $$

$$ \implies \sum_{j=1}^{n} b_j\,a_{j s} = 0, \quad s=1,\dots,m \longrightarrow (*)$$

Ahora, uno puede ver que $(*)$ es un sistema de ecuaciones indeterminado en $b'_js$ ya que $n>m$ lo que significa que tendremos $n-m$ variables libres y el sistema tendrá un número infinito de soluciones.