Prueba de las igualdades restantes

Question

Imagina la relación x@y = z, donde @ es alguna operación (y también #). A menudo utilizamos la propiedad de que (x@y)# = z# para resolver variables. Por ejemplo, $$2x = 9/2$$

Decimos que seguirá siendo igual si dividimos ambos lados por 2: $$x = 9/4$$

Mi profesor de matemáticas dice que se puede demostrar. ¿Cómo se puede hacer esto?

Answer 1

La respuesta corta e intuitiva es que si $A=B$ entonces $cA=cB$ para cualquier $c$ . Este debe ser el caso para que la multiplicación esté bien definida. Aunque $A$ y $B$ pueden escribirse de forma diferente, en realidad son el mismo número. Si la multiplicación está bien definida, entonces cuando multiplico $c$ por algo, digamos $A$ No debería importar cómo he escrito $A$ o qué día de la semana es, o cualquier otra cosa, sólo importa qué número $A$ es. Desde $A$ y $B$ son el mismo número, multiplicando ambos por $c$ da como resultado el mismo valor.

En este caso, el $c$ que está multiplicando por es $c=\frac{1}{2}$ .

Para una demostración matemática rigurosa, es necesario saber que los números reales (sin incluir $0$ ) forman un grupo. Piensa que el grupo son los números reales no nulos con la operación $\star$ siendo la multiplicación. Entonces, lo que estás viendo es la propiedad de cancelación. El enunciado y la prueba son los siguientes:

En cualquier grupo $G$ si $ca=cb$ entonces $a=b$ .

Prueba \begin{align*} a &= 1\star a \\ &= (c^{-1}\star c)\star a \\ &= c^{-1}\star (c\star a) \\ &= c^{-1}\star (c\star b) \\ &= (c^{-1}\star c)\star b \\ &= 1\star b \\ &= b \end{align*}

Los reales son, un campo, lo que implica que los elementos no nulos forman un grupo bajo la multiplicación. Dependiendo de cómo se construyan/axiomaticen los reales, pueden definirse simplemente como un campo. Para más pruebas de estas propiedades "básicas" ver: http://faculty.atu.edu/mfinan/4033/absalg14.pdf