Límite de la convolución de funciones

Question

Estudio la convolución, y hay un teorema que demuestra que si $f, g$ son funciones tales que $f \in L^p$ para $1 < p < \infty$ y $g \in L^q$ donde $q$ es el exponente conjugado de $p$ . Entonces $$\lim_{|x| \rightarrow \infty} (f*g)(x) = 0.$$ Entonces parece que $p$ no incluye el caso extremo en el que $p=1$ y $q = \infty$ o $p= \infty$ 0r $q=1$ . Es decir, existe una función $f \in L^1$ y $g \in L^\infty$ tal que $\lim_{|x| \rightarrow \infty}f*g(x) \neq 0.$

Desde $g$ está en $L^\infty$ está acotado en casi todas partes. Como $f \in L^1$ Normalmente tengo una foto de ella como $\frac{1}{\sqrt{x}}$ o $e^{-x}$ que es el decaimiento en el infinito.

Sin embargo, $e^{-x}$ decae más rápido que cualquier polinomio en $\infty$ y el polinomio no pertenece a $L^\infty$ en $\mathbb{R}$ .

Así que no sé muy bien qué función estoy buscando.

Answer 1

Cualquier $f\in L^1$ con $\int f\ne0$ y $g=1$ da un contraejemplo.

Answer 2

Tal vez funcione lo siguiente: Poner $f(x)=e^{-(x^2)}$ y $g(x)=1$ entonces $$f*g(x)=\int_\mathbb{R} e^{-\tau^2}g(\tau-x)\, d\tau=\int_\mathbb{R} e^{-\tau^2}1\, d\tau=const\neq 0$$