La compacidad de un operador de $C[0,1]$ a $C[0,1]$

Question

Estoy tratando de probar $T$ es un operador compacto donde $T$ es $$T:C[0,1] \to C[0,1] \text{ such that } T u(t)=\int_{0}^{t} u(s) d s.$$

Pero yo "probé" que $T(B)$ está cerrado en $F$ que no es por este .

Dejemos que $u_n\in B$ es decir $||u_n||\leqslant 1$ y $v_n=Tu_n$ . Entonces $\left|v_{n}(x)-v_{n}(y)\right|=\int_{x}^{y}\left|u_{n}(t)\right| d t \leqslant|x-y|$ . Por el Teorema de Arzela-Ascoli $v_n$ tiene una subsecuencia convergente, lo que significa que $T(B)$ es compacto. Por lo tanto, $T(B)$ siendo un subconjunto compacto de un espacio métrico, es cerrado.

¿Qué pasa con mi prueba?

Answer 1

El Teorema de Arzela-Ascoli no dice que $T(B)$ es compacto. Te dice que $T(B)$ es relativamente compacto en el sentido de que su cierre es compacto.