Integral de la curvatura gaussiana sobre S

Question

Dejemos que f: $\Bbb R^2 \rightarrow \Bbb R$ sea una función suave tal que $f(x, y) = 0$ para todos $(x, y)$ fuera del disco de la unidad, es decir, para todos los $(x, y)$ con $x^2 + y^2 \geqq 1.$ Considere la superficie $S$ en $\Bbb R^3$ dada por la gráfica de $f$ sobre el disco $x^2 + y^2 \leqq 2.$ ¿Qué se puede decir de la integral de la curvatura gaussiana sobre S? Demuestra.

Supongo que lo que tendría que usar aquí es Gauss-Bonnet, pero tengo problemas para conseguirlo con la información que se me da, es decir, no estoy seguro de cómo derivar los valores necesarios para Gauss-Bonnet.

Answer 1

Por el teorema local de Gauss-Bonnet, $$ \int_{S} K \, \mathrm dA = 2\pi -\int_\gamma k_g \, \mathrm ds, $$ donde $\gamma$ es el círculo orientado positivamente $x^2+y^2=2$ . Desde $f(x,y)=0$ para $x^2+y^2\geq 1$ se deduce que $S$ es plana en todas partes excepto en el círculo unitario. En particular, la curvatura geodésica de $\gamma$ puede calcularse fácilmente tomando, por ejemplo $(0,0,1)$ como la normal unitaria a lo largo de $\gamma$ y parametrizando $\gamma$ en consecuencia.

¿Puede continuar?