Hace mucho tiempo pregunté aquí sobre lo que O'Neill define en su libro "Elementary Differential Geometry" como "Natural Coordinate Functions". En su momento, entendí que era una conveniencia notacional y todo eso. Pero ahora he empezado a pensar de nuevo en ello, y quiero asegurarme de que he entendido lo que está pasando.
O'Neill en su libro, en lugar de presentar las funciones como: "dejemos $f: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ viene dada por la relación $f(x,y)=x^2+y^2$ " donde $x,y \in \Bbb R$ presenta cosas como "dejemos $f: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ se da por lo siguiente $f=x^2+y^2$ " donde entiende $x$ y $y$ para ser las funciones tales que $x(a,b)=a$ y $y(a,b)=b$ .
Ahora, en $\Bbb R^n$ no parece realmente necesario trabajar así, pero ahora viene la pregunta: ¿es esta la forma en que normalmente debemos configurar la función en las variedades abstractas? En efecto, dejemos que $M$ sea una variedad lisa de dimensión $n$ y que $(x,U)$ sea un gráfico para $M$ . Tenemos entonces $x: U \subset M \to \Bbb R^n$ , si $I : \Bbb R^n \to \Bbb R$ es la función de identidad podemos entonces extender esta idea del libro de O'neill y definir $x^i = I^i \circ x$ para ser el $i$ -función de coordenadas. Ahora, podemos establecer cada función $f : U \to \Bbb R$ en términos de estas funciones, de manera que podemos escribir por ejemplo (si $n = 2$ ) $f = (x^1)^2 + (x^2)^2$ y así tenemos una forma muy natural de escribir las cosas en $U$ en términos de "las coordenadas" $(x^1,\cdots,x^n)$ . Para que en lugar de escribir realmente $f(p)$ para $p \in M$ sólo escribimos $f$ como una combinación de las funciones de coordenadas (utilizando la suma, la multiplicación por el escalar, el producto, la composición, etc.)?
¿Es eso cierto? ¿Es realmente así que esta cosa de las "funciones de coordenadas" realmente funciona?
Muchas gracias de antemano.