Transformada de Fourier de $1/ \sqrt{m^2+p_1^2+p_2^2+p_3^2}$

Question

Dejemos que $m>0$ y considerar la función $f:\mathbb R^3\to\mathbb C$ definido a través de $$ f(p_1,p_2,p_3) = \frac{1}{\sqrt{m^2+p_1^2+p_2^2+p_3^2}}.$$

Me gustaría calcular la transformada de Fourier de $f$ .

Esta función particular es interesante porque aparece naturalmente en algunos problemas de la relatividad especial.

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Lo que ya sé:

• Aunque $f$ no es integrable ni integrable al cuadrado, la transformada de Fourier de $f$ está bien definida como la transformada de Fourier de una distribución templada.
• Utilizando un software de cálculo simbólico, espero que $\int_{-\infty}^{+\infty}f(p_1,p_2,p_3) e^{-i x_1p_1} dp_1 = 2K_0(x_1 \sqrt{m^2+p_2^2+p_3^2})$ , donde $K_0$ es una función de Bessel modificada del segundo tipo.

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Preguntas:

1. Es la transformada de Fourier de $f$ ¿explícitamente computable?
2. Si es así, ¿cómo podría calcularlo?

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\underline{\underline{\mbox{With}\ \vec{R} \equiv \verts{m}\vec{r}}}}$ : \begin{align} &\bbox[10px,#ffe]{\iiint_{\large\mathbb{R}^{3}}{\expo{-\ic\vec{p}\cdot\vec{r}} \over \root{m^{2} + p^{2}}}\,\dd^{3}\vec{p}} = m^{2}\iiint_{\large\mathbb{R}^{3}}{\expo{-\ic\vec{p}\cdot\vec{R}} \over \sqrt{p^{2} + 1}}\,\dd^{3}\vec{p} \\ = &\ m^{2}\int_{0}^{\infty}{1 \over \root{p^{2} + 1}}\ \overbrace{\pars{\int_{\Omega_{\Large\vec{p}}}\expo{-\ic\vec{p}\cdot\vec{R}}\,{\dd\Omega_{\vec{p}} \over 4\pi}}} ^{\ds{\sin\pars{pR} \over pR}}\ 4\pi p^{2}\,\dd p \\[5mm] = &\ {4\pi m^{2} \over R}\int_{0}^{\infty}{p\sin\pars{pR} \over \root{p^{2} + 1}}\,\dd p \\[5mm] = &\ -\,{4\pi m^{2} \over R}\, \partiald{}{R}\int_{0}^{\infty}{\cos\pars{pR} \over \root{p^{2} + 1}}\,\dd p \\[5mm] = &\ -\,{4\pi m^{2} \over R}\, \partiald{\mrm{K}_{0}\pars{R}}{R} \end{align}

$\ds{\mrm{K}_{0}}$ es un Función de Bessel modificada . Ver A Y S $\ds{\bf\color{black}{9.6.21}}$ .

\begin{align} &\bbox[10px,#ffe]{\iiint_{\large\mathbb{R}^{3}}{\expo{-\ic\vec{p}\cdot\vec{r}} \over \root{m^{2} + p^{2}}}\,\dd^{3}\vec{p}} = -4\pi m^{2}\,{\mrm{K}_{1}\pars{R} \over R} \\[5mm] = &\ \bbox[10px,#ffd,border:1px solid navy]{-4\pi \verts{m}\,{\mrm{K}_{1}\pars{\verts{m}r} \over r}} \\ & \end{align} Ver A Y S $\ds{\bf\color{black}{9.6.28}}$ .