Me dan un triángulo $ABC$ con los puntos $P, Q$ en el plano del triángulo tal que:
$$\overrightarrow{PC} = \dfrac{3}{2} \overrightarrow{BC} \hspace{2cm} \overrightarrow{AQ} = \dfrac{1}{4} \overrightarrow{AC}$$
Tengo que demostrar que los puntos $P, Q$ y $C'$ (donde $C'$ es el punto medio del segmento $[AB]$ ) son colineales. Parece que estoy un poco perdido. En primer lugar hice el dibujo, parece que este . Espero que que el enlace funcione, nunca había dibujado un triángulo en línea. Aquí está una imagen de la misma, por si el enlace de GeoGebra no funciona.
A mi entender, para demostrar que dos vectores $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ son colineales tengo que demostrar que existe una relación:
$$\overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}$$
donde $k \in \mathbb{R}$ . Así que intenté encontrar dicha relación utilizando dos de los vectores $\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PC'}$ y $\overrightarrow{C'Q}$ pero no pude encontrarlo. (Por cierto, ¿es suficiente esa condición? Me parece que la condición se cumpliría aunque los dos vectores fueran paralelos y los puntos de los vectores no son ciertamente colineales si son paralelos. ¿Hay alguna otra condición que deba cumplirse?)
He tenido en cuenta que en la primera parte del problema tenía que expresar el vector $\overrightarrow{PQ}$ en términos de los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ . Después de muchas manipulaciones y pruebas y errores, conseguí la expresión:
$$\overrightarrow{PQ} = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{AC} - \dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}$$
He pensado que los subpuntos del problema están relacionados de alguna manera, así que puedo utilizar esta expresión para averiguar que $P,Q$ y $C'$ son colineales pero no he conseguido nada. Seguí transformando vectores y expresándolos como una suma de otros dos vectores una y otra vez, empezando desde el principio unas cuantas veces, pero seguía sin encontrar la solución.
Así es como he abordado hasta ahora todo este tipo de problemas con los vectores. Sólo ensayo y error, que parece que esta vez me falla. ¿Existe un enfoque más general que pueda seguir, o simplemente sigo intentando expresar los vectores como sumas y diferencias de otros vectores hasta que obtenga el resultado deseado? Eso no parece funcionar esta vez, o al menos no he llegado a la solución.
