$X\cos\beta+Y\sin\beta\sim N(0,1)$ , mostrar $X$ y $Y$ son independientes $N(0,1)$ variable aleatoria

Question

Pregunta Dejemos que $(X,Y)$ sea un punto aleatorio extraído de una distribución bidimensional. Supongamos que $X\cos+Y\sin\sim N(0,1)$ para cualquier $ \mathbb{R}$ . Demostrar que $X$ y $Y$ son independientes $N(0,1)$ variables aleatorias.

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Intento de solución Dejemos que $Z=X\cos+Y\sin\sim N(0,1)$ Así que usando mgf,

\begin{align} M_Z(t) & = \exp(1/2(x^2\cos^2\beta+Y^2\sin^2\beta)) \\[8pt] & = \exp\left(\frac{x^2\cos^2\beta}{2}\right) \exp \left( \frac{y^2 \sin^2 \beta}{2}\right) \\[8pt] &=M_X(s)M_Y(t), \\[8pt] \text{and } X & \sim N(0,\cos^2\beta), \quad Y\sim N(0,\sin^2\beta). \end{align}

Mi confusión

1. ¿Es correcto mi método?
2. Puedo concluir $X\sim N(0,1), Y\sim N(0,1)$ , ya que $\beta \in \mathbb{R}$ ?

Answer 1

Sólo tenemos que demostrar que $\text{Cov} (X,Y)=0$ . Para ello, tenga en cuenta que cuando $\beta = \pi/4$ tenemos $\frac 1{\sqrt 2} (X+Y)\sim N(0,1)$ Así que $E[(X+Y)^2/2]=1, E(X+Y)^2=2$ .

$$ \text{Cov} (X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\\ =\frac12 E[(X+Y)^2-X^2-Y^2]-0\times 0\\ =\frac{1}{2}\times (2-1-1)=0. $$ Por lo tanto, son independientes.

Obsérvese que he utilizado el hecho de que $E(X)=E(Y)=0, E(X^2)=E(Y^2)=1$ .

Answer 2

Añado poco a Jethro (que no entiendo exactamente por qué fue votada a la baja), pero quiero poner un poco de orden en la discusión en los comentarios.

De la hipótesis podemos concluir lo siguiente.

1. Tomando $\beta = 0$ y $\beta = \frac{\pi}2$ lleva a $X\sim N(0,1)$ y $Y\sim N(0,1)$ respectivamente.
2. Para cualquier $a,b\in \Bbb R$ , $aX+bY \sim N(0,a^2+b^2)$ . De hecho, tenemos $$aX+ bY=\sqrt{a^2+b^2}(X\cos\beta + Y\sin \beta)=\sqrt{a^2+b^2}Z,$$ donde $$\beta=\arctan \left(\frac ba\right).$$ Por lo tanto, $(X,Y)$ tener un distribución normal bivariada .
3. En particular $W=X+Y\sim N(0,2)$ , lo que implica $\mbox{E}\left[W^2\right]=2$ . De ahí el resultado, ya demostrado, de que $$\mbox{Cov}(X,Y)=\mbox{E}[XY]=\frac12\mbox{E}\left[W^2-X^2-Y^2\right]=0.$$ Así, $X$ y $Y$ no están correlacionados.
4. La falta de correlación y 2. la garantía de independencia. $\blacksquare$