Teoría algebraica de los números y aplicaciones a las propiedades de los números naturales.

Question

Permítanme, a los efectos de esta pregunta (pero sólo aquí), exagerar las cosas y exponer dos definiciones polémicas. Por favor, olvídese de estas definiciones después de responder a esta pregunta, y perdone mi tonta puntillosidad.

Definición $1$ : La "teoría de los números algebraicos" es la teoría de los números algebraicos. Excluimos la geometría aritmética y similares.

Definición $2$ : La "teoría de los números" es el estudio de las propiedades de los números naturales.

En el sentido anterior, busco ejemplos de aplicaciones de la teoría algebraica de números a la teoría de números. Me refiero a aquellas aplicaciones que arrojan luz sobre los "números" tal y como los conocemos en la escuela primaria. Por supuesto, hay iluminación al mirar una imagen más grande de tantos anillos de números, pero no es eso lo que quiero decir. Tengo en mente específicamente la aplicación a los números enteros de la tierra. Lo que sé es lo siguiente:

$1$ . El teorema de que un primo impar es de la forma $a^2 + b^2$ si y sólo si es de la forma $4n +1$ , demostrada al observar la factorización en el anillo de Gauss.

$2$ . La ecuación de Pell se resuelve con el teorema unitario de Dirichlet.

$3$ Teorema de von Staudt-Clausen sobre los números de Bernoulli, demostrado mediante la teoría ciclotómica.

$4$ . Algunas ecuaciones, como la ecuación de Fermat $X^n + Y^n = Z^n$ puede "dividirse" en algún campo de extensión y, por tanto, tiene sentido ir a anillos más grandes, para estudiar las ecuaciones diofánticas. Aquí me refiero al trabajo de Kummer que inició la teoría de los ideales, la teoría algebraica de los números, etc.

Excluyo lo siguiente:

$5$ . La geometría aritmética puede utilizarse junto con la geometría algebraica para estudiar las ecuaciones diofánticas. Las curvas elípticas entran aquí, cuando su geometría se utiliza significativamente (como en el trabajo de Katz-Mazur). Eso es "geometría aritmética", a efectos de esta pregunta. Me interesa más conocer las aplicaciones de la "teoría algebraica de los números", tal como se ha definido anteriormente.

$6$ . Una vez más, utilizando la geometría algebraica y también las formas modulares, se pueden demostrar conjeturas como el límite de Ramanujan sobre la función tau. Aquí las "formas modulares" son "analíticas", o "trascendentales", y también "la geometría está involucrada". Así que va más allá de la "teoría algebraica de los números"

$7$ . El teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas es la "teoría analítica de los números".

Por lo tanto, excluyo cualquier toque de "teoría analítica de los números" y "geometría aritmética", de la "teoría algebraica de los números" tal como se ha definido anteriormente. Pero puede incluir la teoría de Kummer, la teoría de campos de clases, etc. No sé dónde poner los resultados de Dorian Goldfeld sobre el problema de los números de clase de Gauss. Utiliza Gross-Zagier, que es significativamente geométrico, pero da un resultado expresable en términos de enteros racionales. Tampoco sé si la teoría de Iwasawa es geometría aritmética o no. Hay que excluir la teoría de Langlands, etc., porque es aún más abstracta. Sólo quiero el "primer curso de teoría de números algebraicos", "teoría ciclotómica básica", "teoría de campos de clases", etc., en resumen, sólo aquellas cosas que son obviamente el estudio de los números algebraicos.

Así que, pregunta:

¿Existen otras aplicaciones de la "teoría algebraica de los números" al "estudio de los números naturales", además de los ejemplos 1-4 anteriores?

Etiqueto esta pregunta como "lista grande" porque espero que sean bastantes.

Answer 1

Un truco que he visto varias veces: Si desea mostrar que algunos de número racional es un número entero (me. e., una de divisibilidad), demuestran que es un entero algebraico. Técnicamente, es una aplicación de álgebra conmutativa (la integral closedness de $\mathbb Z$, junto con las propiedades de la integral de cierre, tales como: la suma de dos algebraica de números enteros es un entero algebraico de nuevo), pero ya que lo define la teoría algebraica de números como la teoría de los números algebraicos, usted puede estar interesado en este tipo de aplicaciones.

Ejemplo: supongamos $p$ ser un primo tal que $p\neq 2$. Demostrar que el $p$-ésimo número de Fibonacci $F_p$ satisface $F_p\equiv 5^{\left(p-1\right)/2}\mod p$.

Prueba: podemos hacer la $p=5$ de los casos con la mano, así que vamos a suponer que $p\neq 5$ por ahora. A continuación, $p$ es coprime a$5$$\mathbb Z$. Deje $a=\frac{1+\sqrt5}{2}$$b=\frac{1-\sqrt5}{2}$. La fórmula de Binet rendimientos $F_p=\displaystyle\frac{a^p-b^p}{\sqrt5}$. Ahora, $a^p-b^p\equiv\left(a-b\right)^p\mod p\mathbb Z\left[a,b\right]$ (por el idiota de la fórmula binominal, ya que $p$ es una extraña prime). Tenga en cuenta que $p$ es coprime a $5$ en el ring $p\mathbb Z\left[a,b\right]$ (desde $p$ es coprime a $5$ en el ring $\mathbb Z$, y por lo tanto no existen enteros $a$ $b$ tal que $pa+5b=1$). Ahora,

$\displaystyle F_p=\frac{a^p-b^p}{\sqrt5}\equiv\frac{\left(a-b\right)^p}{\sqrt5}$ (desde $a^p-b^p\equiv\left(a-b\right)^p\mod p\mathbb Z\left[a,b\right]$ y ya podemos dividir congruencias módulo $p\mathbb Z\left[a,b\right]$$\sqrt5$, debido a $p$ es coprime a$5$$p\mathbb Z\left[a,b\right]$)

$\displaystyle =\frac{\left(\sqrt5\right)^p}{\sqrt5}$ (desde $a-b=\sqrt5$)

$=5^{\left(p-1\right)/2}\mod p\mathbb Z\left[a,b\right]$.

En otras palabras, el número de $F_p-5^{\left(p-1\right)/2}$ es divisible por $p$ en el ring $\mathbb Z\left[a,b\right]$. Por lo tanto, $\frac{F_p-5^{\left(p-1\right)/2}}{p}$ es un entero algebraico. Pero también es un número racional. Por lo tanto, es un número entero, por lo que el $p\mid F_p-5^{\left(p-1\right)/2}$ e lo $F_p\equiv 5^{\left(p-1\right)/2}\mod p$, qed.

Answer 2

El polinomio exponencial truncado $1 + x + x^2/2! + ... + x^n/n!$ es irreducible para todos los enteros positivos $n$ . Este resultado se debe a Schur y la prueba utiliza factorizaciones ideales primos en el campo numérico generado por una raíz de este polinomio.

Schur demostró en realidad un teorema más general sobre la irreducibilidad de los polinomios de la forma $$1 + a_1x + (a_2/2!)x^2 + ... \pm (1/n!)x^n,$$ donde el $a_i$ son todos enteros. El caso especial en el que todos los $a_i$ es 1 es comprensible por sí mismo y ya es interesante como problema sobre polinomios racionales cuya demostración utiliza la teoría algebraica de números.

Esto no arroja directamente luz sobre las propiedades de los "números" en la escuela primaria, como se expresa en la pregunta original, pero a menos que la intención sea tratar de enseñar la teoría algebraica de los números a los estudiantes de primaria, una aplicación del tema a los polinomios parece valiosa para la motivación.

Para ello, la teoría algebraica de los números proporciona una comprensión conceptual del criterio de irreducibilidad de Eisenstein (está estrechamente relacionado con los primos totalmente ramificados) y explica por qué la mayoría de los polinomios $f(X)$ en ${\mathbf Z}[X]$ que son irreducibles no tendrán una "traducción de Eisenstein" $f(X+c)$ para cualquier número entero $c$ .

Answer 3

Lista con muy pocas restricciones, pero esperemos que este ejemplo será "admisible".

Fijar un número entero $n>0$. La teoría algebraica de números arroja luz sobre la cual racional de los números primos son de la forma $x^2+ny^2$.

Específicamente, considere la posibilidad de la orden de $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$$\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$. El correspondiente teorema es que un primer $p$ está representado por la forma cuadrática $x^2+ny^2$ si y sólo si se divide por completo en el Anillo de la Clase de Campo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$.

Aquí es la idea de la prueba (para simplificar, voy a restringir a los casos en que $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ es el máximo orden de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$:

Dirección 1: Si $p=x^2 + ny^2$ primer $p\nmid 2n$,$p\mathcal{O}_K=(x + \sqrt{-n}y)(x − \sqrt{-n}y)$. El ideal de $(x+\sqrt{-n}y)$ es el primer y principal, por lo $p$ se divide completamente en el Hilbert Campo de la Clase de $K$.

Dirección 2: Supongamos por el contrario que $p$ se divide completamente en el Hilbert Campo de la Clase de $K$. A continuación, debemos tener $p\mathcal{O}_K=\mathfrak{p}\mathfrak{q}$. Por supuesto, tanto en $\mathfrak{p},\mathfrak{q}$ split completamente en el Hilbert campo de la Clase de $K$, por lo que debe ser el director. Decir $\mathfrak{p} =(x+\sqrt{-n} y)\mathcal{O}_K$$\mathfrak{q} =(x-\sqrt{-n} y)\mathcal{O}_K$. A continuación,$p=x^2+ny^2$.

Tenga en cuenta que no es difícil, el uso de la Dedekind-Kummer teorema, para mostrar que este es equivalente a la declaración:

Hay un monic polinomio irreducible $f_n(x)\in \mathbb{Z}[x]$ de manera tal que si un extraño prime $p$ divide ni n ni el discriminante de $f_n(x)$ $p$ está representado por $x^2+ny^2$ si y sólo si $(\frac{-n}{p})=1$ $f_n(x)\equiv 0\pmod{p}$ tiene una solución integral.

Answer 4

Los teoremas de densidad de Frobenius y Cebatarov--la factorización de un polinomio módulo varios primos entero es controlada por el grupo de Galois de las extensiones correspondientes. Incluso si usted es realmente duro de la base sobre la exclusión de resultados analíticos, hasta el punto que no acepta declaraciones sobre densidad de Dirichlet, seguramente vale la pena entender por qué siempre factores de $x^3+2 x^2-x-1$ en (linear)(linear)(linear) o estancias irreducibles, pero no es nunca (linear)(quadratic).

Answer 5

Hay grandes pruebas de la reciprocidad cuadrática que pasan a través de la teoría ideal de campos ciclotómicas.

Y es básicamente imposible discutir reciprocidad cúbica y biquadratic sin teoría del número algébrico.