Número de maneras en que pueden 12 personas tomar asiento en una fila de 20 asientos fijos de manera que cada persona tenga exactamente un vecino

Question

Mi pregunta es "Encuentre el número de formas en que 12 personas pueden tomar asiento en una fila de 20 asientos fijos de manera que cada persona tenga exactamente un vecino"

Mi intento: He empezado a asumir que $x_0$ sea el número de plazas vacantes antes de la primera persona y $x_1$ sea el número entre el segundo y el tercero y así sucesivamente. ¿Lo estoy entendiendo bien o mal? Por favor, guíenme si hay otra manera.

Answer 1

Habrá $8$ asientos no ocupados. Anote $8$ estrellas, así, con un espacio entre ellas. $$\ast\qquad\ast\qquad\ast\qquad\ast\qquad\ast\qquad\ast\qquad\ast\qquad\ast$$

Estos determinan $9$ lagunas, de las cuales $7$ son las brechas interestelares, y $2$ son los extremos. Necesitamos elija $6$ de estos huecos, y desliza un par de sillas en los huecos elegidos. La elección puede hacerse en $\binom{9}{6}$ formas.

Si nos interesa saber quién se sienta dónde, multiplíquese por $12!$ .

Añadido: El enfoque iniciado en el OP funcionará. Terminamos con $7$ variables $x_0$ a $x_6$ que han sumado $8$ . Se trata de un problema básico de barras y estrellas, salvo que las variables "finales" pueden ser $0$ mientras que las variables $x_1$ a $x_5$ debe ser $\ge 1$ . Podemos entrar en los casos, aunque hay un truco que nos $\binom{9}{6}$ directamente.

Answer 2

Una forma de utilizar las estrellas y las barras

• Forma grupos de personas y sillas vacías como se indica a continuación:

${\huge\boxed.}\; P P E\;{\huge\boxed.}\; P P E\;{\huge\boxed.}\; PPE\;{\huge\boxed.}\; PPE\;{\huge\boxed.}\; PPE\;{\huge\boxed.}\; P P\;{\huge\boxed.}$

• Coloque el $3$ sillas restantes en las cajas de $\binom{3+7-1}{7-1}$ formas

• Permitir a los individuos en $12!$ formas

Answer 3

A menos que me esté perdiendo algo... sólo hay una manera de que sea posible.

20 plazas

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

Cada persona tiene 1 vecino.

I I x I x I x I x I x I x I x I x I I

No hay otra forma de hacerlo, ya que no se puede compensar el primer o el último asiento y seguir teniendo un vecino.

Answer 4

$8$ asientos vacíos que quedan $(denoted~ by~ O)$

como O O O O O O O

hay $7+2 = 9$ intermedio para colocar el $6$ grupos,

Así que creo que la respuesta es $C^6_9$

si el orden de las personas es alterable,

entonces la respuesta es algo así como $C^6_9$ * $12!$