¿El lugar fijo de una acción de grupo es siempre un esquema?

Question

Supongamos que G es un grupo algebraico con una acción G×X→X sobre un esquema. ¿Tiene el lugar fijo (el conjunto de puntos x∈X fijados por todo G) una estructura de esquema? Obviamente se puede definir el functor Fix(T)={t∈X(T)|t es fijado por todo elemento de G(T)}. ¿Es este functor siempre representable?

(Esta pregunta fue "desgajada" de una pregunta compuesta mía después de que Scott Carnahan respondiera a la otra parte tan maravillosamente que tuve que aceptar su respuesta).

Answer 1

La pregunta da el "mal" de la definición de Revisión(T), de ahí la confusión resultante.

De una forma más natural de definición de la subfunctor X^G "G-puntos fijos en X" es
(X^G)(T) = {x en X(T) | G_T-acción en X_T corrige x}
= {x en X(T) | G(T')-acción en X(T') correcciones de x para todo T-esquemas de T'}.
(Por supuesto, puede restricción para afín T y T' para la "práctica" propósitos).

Por analogía con la más clásica de las situaciones, si la base es un campo k luego de un momento de reflexión con el caso de finito k muestra que
{x en X(k) | G(k) correcciones de x}
es el "mal" la noción de (X^G)(k), mientras que
{x en X(k) | G-acción en X corrige x}
es un "mejor" la noción, y es lo que la definición anterior de (X^G)(k) dice.

Desde este punto de vista, si (por simplicidad de notación) la base del sistema es un afín Spec(k) para un anillo conmutativo k, entonces, el "esquema de la G-puntos fijos" existe siempre que G es afín a y X se separa, siempre que k[G] es k-libre (o se convierte así después fielmente plano de extensión en k). Así que esto funciona cuando k es un campo, o cualquier k si G es un k-toro (o "de tipo multiplicativo"). Ver La Proposición A. 8.10(1) en el libro Pseudo-reductora grupos.

Answer 2

Sea F el campo con dos elementos y G = G_{m, F}. Sean X = unⁿ, espacio afín de dimensión n (al menos 1), con G por dilataciones. Entonces G(F) es trivial, así que Fix(F) = X(F), que tiene elementos que no sean el origen. Fix (F₄) es el origen, pero debe contener todos los F₄-señala que el factor a través del mapa canónico espec f el. Por lo tanto, Fix no es representable.