El límite, $\lim \frac{A_{i}}{B_{i}} = 1$ está mal definida, pero parece significar que $A_{i}$ y $B_{i}$ son esencialmente iguales hasta el primer grado en el exponente.
Supongo que el límite $\displaystyle\lim_{n \to\infty} \frac{A_{i}}{B_{i}} = 1$ tiene $\forall i = 1, \dots, n$ y que la variable aleatoria $A_{i}$ y $B_{i}$ dependen de $n$ .
La pregunta se descompone en lo siguiente:
Es $\mathbb{P}\left(f(A_1, \dots, A_n) = f(B_1, \dots, B_n)\right) = 1$ ? (convergencia casi segura)
Para las funciones dadas, $f(A_1, \dots, A_n) = \max_i A_i$ y $f(B_1, \dots, B_n) = \max_i B_i$ tenemos:
Es $\mathbb{P}\left(\max_i A_i = \max_i B_i\right) = 1$ ?
Intuitivamente, sí. Permítanme intentar dar una prueba (semi)rigurosa.
Prueba:
Representemos explícitamente $A_i$ en función de $n$ es decir $A_i(n)$ . Además, sin pérdida de generalidad, tomemos estas variables aleatorias como positivas.
Dejemos que $\max_i A_i(n) = A_j(n)$ para algunos $j \in \{1, \dots n\}$ . Entonces, por la relación entre $A_j(n)$ y $B_j(n)$ en la forma del límite anterior, para cada $\epsilon > 0$ existe un número suficientemente grande de $n_0$ , de tal manera que $n \geq n_0$ y
$$A_j(n)/\left(1 - \epsilon\right) \geq B_j(n) \geq A_j(n)/\left(1 + \epsilon\right)\hspace{20 mm}(1)$$
Por lo tanto, si $A_j(n)$ es el máximo, como se ha supuesto anteriormente, entonces es lógico que $B_j(n)$ es el máximo entre $B_i(n)$ 's. Permítanme probar esto rigurosamente.
Supongamos que $B_j(n)$ no es el máximo entre $B_i(n)$ 's. Supongamos también que sólo hay un $A_j(n)$ Satisfaciendo a $\max_i A_i(n) = A_j(n)$ . Considere $\max_i B_i(n) = B_k(n)$ para algunos $k \in \{1, \dots n\} \neq j.$ Entonces, para cada $\epsilon > 0$ existe alguna $n_1$ tal que $n > n_1$ y:
$$ A_k(n)/\left(1 - \epsilon\right) \geq B_k(n) \geq A_k(n)/\left(1 + \epsilon\right) \hspace{20 mm} (2) $$
Esto implica que $B_k(n)$ está arbitrariamente cerca de $A_k(n)$ como $ n \to \infty$ . Del mismo modo, la ec. (1) nos dice que $B_j(n)$ está arbitrariamente cerca de $A_j(n)$ como $n \to \infty$ . Sin embargo, $max_i A_i(n) = A_j(n)$ y por lo tanto $A_j(n) \geq A_k(n)$ . Sin embargo, asumimos que sólo existe un $j$ que satisface $max_i A_i(n) = A_j(n)$ . Por lo tanto, claramente, $B_j(n) > B_k(n)$ para un tamaño suficientemente grande $n > \max(n_0, n_1)$ . Claramente, tenemos una contradicción y por lo tanto, $B_j(n)$ es efectivamente el máximo entre $B_i(n)$ en el límite.
El caso, en el que $A_j(n) = A_k(n)$ (para un tamaño suficientemente grande $n > \max(n_0, n_1)$ ) es trivial, ya que en este caso $B_j(n) = B_k(n)$ y por lo tanto, en cualquier caso el límite,
$$\lim_{n \to\infty} \frac{\max_i A_{i}}{\max_i B_{i}} = \lim_{n \to\infty} \frac{A_{j}}{B_{j}} = 1 \hspace{20 mm} (3)$$
donde $j$ es como se ha definido anteriormente.
Para terminar, nótese que los límites mencionados en la ec. (3) son la definición de convergencia casi segura, y por lo tanto:
$\displaystyle \mathbb{P}\left(A_i = B_i\right) = 1$ , $\forall i$ .
Por lo tanto, $\displaystyle \mathbb{P}\left(\max_i A_i = \max_i B_i\right) = 1$ , donde $j$ es tal que $\max_i A_i = A_j$ y $\max_i B_i = B_j$ .
Q.E.D.
Por cierto, no estoy seguro de que el mismo razonamiento pueda llevar a un resultado similar para cualquier función general, $f(A_1, \dots, A_n)$ y $f(B_1, \dots, B_n)$ .
