¿Por qué utilizar el método de Montecarlo en lugar de una simple cuadrícula?

Question

Al integrar una función o en simulaciones complejas, he visto que se utiliza mucho el método de Montecarlo. Me pregunto por qué no se genera una malla de puntos para integrar una función en lugar de dibujar puntos al azar. ¿No daría eso resultados más exactos?

Answer 1

Encontré los capítulos 1 y 2 de estas notas de clase útil cuando yo mismo me hice la misma pregunta hace unos años. Un breve resumen: Una cuadrícula con $N$ puntos en un espacio de 20 dimensiones exigirá $N^{20}$ evaluaciones de funciones. Eso es mucho. Al utilizar la simulación de Montecarlo, esquivamos hasta cierto punto la maldición de la dimensionalidad. La convergencia de una simulación de Montecarlo es $O(N^{-1/2})$ que es, aunque bastante lento, dimensionalmente independiente .

Answer 2

Claro que sí; sin embargo, conlleva un uso mucho mayor de la CPU. El problema aumenta especialmente en muchas dimensiones, donde las cuadrículas se vuelven efectivamente inutilizables.

Answer 3

Los comentarios anteriores tienen razón en que la simulación es más fácil de utilizar en problemas multidimensionales. Sin embargo, hay maneras de abordar su preocupación - eche un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/Halton_sequence y http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_grid .

Answer 4

Mientras que uno suele pensar en el muestreo de rechazo cuando considera Monte Carlo, las cadenas de Markov Monte Carlo permite explorar un espacio de parámetros multidimensional de forma más eficiente que con una rejilla (o un muestreo de rechazo). En este tutorial se explica claramente cómo se puede utilizar MCMC para la integración. http://bioinformatics.med.utah.edu/~alun/teach/stats/week09.pdf

Answer 5

Dos cosas -

1. Convergencia más rápida al evitar la maldición de la dimensionalidad. Porque la mayoría de los puntos de una cuadrícula se encuentran en el mismo hiperplano sin aportar información adicional significativa. Los puntos aleatorios llenan el espacio de N dimensiones de manera uniforme. LDS es aún mejor.

2. A veces, para los métodos de Monte Carlo necesitamos puntos estadísticamente aleatorios sin un orden determinado. Una secuencia ordenada de puntos de la cuadrícula dará lugar a propiedades estadísticas deficientes.