El teorema trabajo-energía

Question

Bueno, esta es la pregunta.

De algunos ejercicios anteriores sabemos que de \begin{align} A&=\int F\;ds,\\ &=\int ma\;ds, &&(F=ma)\\ &=\int m \frac{dv}{dt}\;ds, &&(a=dv/dt)\\ &=m \int_{v_1}^{v_2}v\; dv,\\ &=m \frac{v_2^2}{2}-m \frac{v_1^2}{2},\\ &=W_2-W_1, &&(W_i=\frac12mv_i^2)\\ &=\Delta W. \end{align} Mientras tanto, para la energía potencial tenemos la figura mostrada \begin{align} A&= \int m a\;ds,\\ &= \int m \frac{dv}{dt}\;ds, \end{align} Aquí el profesor hizo algo así como: $$ds \times \cos \alpha =-dh$$ y entonces la ecuación es \begin{align} A&=- \int m \frac{dv}{dt}\;dh,\\ &=- \int m v \;dv,\\ &=-m \int v \text{ }dv \end{align} y hasta

$$A=-\Delta W_p$$

Ahora lo que me gustaría entender de usted es una explicación lógica para

$$ds \times \cos \alpha=-dh$$

Estaría muy agradecido.

Answer 1

La altura $h$ es probablemente el desplazamiento vertical que apunta hacia abajo. Por lo tanto: $$ h = \left(-\mathbf{\hat j}\right)\cdot\mathbf s = -|\mathbf{\hat j}||\mathbf s|\cos\alpha = -s\cos\alpha $$

Ahora podemos derivar: $$ \frac{dh}{ds} = -\frac{d}{ds}\left(s\cos\alpha\right) = -\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad \frac{dh}{ds} = -\cos\alpha $$

Por lo tanto, multiplicando ambos lados por $ds$ obtenemos: $$ dh = -\cos\alpha ds $$