En Peskin y Schroeder (y también Cheng que yo he desnatada a través de) motivan la Expansión de producto de operador con un montón de palabras.
¿Hay alguna manera para motivar matemáticamente, por ejemplo, expansión de Taylor o similar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
JamalS
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En primer lugar, me gustaría recomendar la Teoría conforme de campos por Di Francesco, es un amplio texto que es completo y contiene muchas de las aplicaciones de la teoría conforme de campos. El texto es indispensable.
En la teoría conforme de campos, a menudo es característica de las funciones de correlación a la divergencia de los puntos de dos o más campos coinciden. El operador de expansión de productos es básicamente una Laurent de la serie, y representa una serie de operadores (siempre entendido en funciones de correlación) como la suma de los operadores definidos, a veces un factor que diverge como puntos coinciden. Recordar en virtud de un mapa de conformación $z\to w(z), \bar z \to \bar w(\bar z)$, un cuasi-el campo primario se transforma a medida,
$$\phi'(w,\bar w) = \left( \frac{\partial w}{\partial z} \right)^{-h}\left( \frac{\partial \bar w}{\partial \bar z} \right)^{-\bar h} \phi(z,\bar z)$$
donde $(h,\bar h)$ son la conformación de las dimensiones. La escala de la dimensión del campo es $\Delta = h+\bar h$ y planar spin $s = h - \bar h$. Un ejemplo de un operador producto de la expansión sería,
$$T(z) \phi(w,\bar w) \sim \frac{h}{(z-w)^2} \phi(w,\bar w) + \frac{1}{z-w} \partial_w \phi(w,\bar w) + \dots$$
con el estrés de la energía tensor $T(z)$ donde es común la práctica de omitir términos no singular como $z\to w$. Esta OPE, de hecho, define el principal operador. La OPE también nos puede decir otras cosas. Considere la posibilidad de un libre bosón,
$$\mathcal{S} = \frac{1}{2}g\int d^2x \, \partial_\mu \varphi \partial^\mu \varphi$$
en el propagador está dada por,
$$\langle \varphi(x) \varphi(y)\rangle = -\frac{1}{4\pi g} \ln(x-y)^2$$
que en el complejo de coordenadas,
$$\langle \varphi(z,\bar z)\varphi(w,\bar w)\rangle = -\frac{1}{4\pi g} \left[ \ln(z-w) + \ln(\bar z - \bar w)\right]$$
Mediante la diferenciación de podemos separar la holomorphic y anti-holomorphic partes:
$$\langle \partial_z \varphi(z,\bar z) \partial_w \varphi(w,\bar w) \rangle = -\frac{1}{4\pi g} \frac{1}{(z-w)^2}$$
y del mismo modo con $(z \leftrightarrow \bar z)$, etc. La OPE del campo con la misma es luego,
$$\partial \varphi(z) \partial \varphi(w) \sim -\frac{1}{4\pi g} \frac{1}{(z-w)^2}$$
Aviso como $z\to w$, es decir, si cambiamos los campos, la OPE no cambia de signo; esto refleja la bosonic carácter de $\varphi$. Un cálculo similar para un fermión de campo revela la OPE con sí mismo,
$$\psi(z) \psi(w) \sim \frac{1}{2\pi g}\frac{1}{z-w}$$
El intercambio de $z$ $w$ recoge un signo que refleja el anti-desplazamientos o fermionic carácter del campo $\psi$.
Como se ha mencionado anteriormente, la APERTURA puede ser pensado como una Laurent de la serie, lo que significa que se pueden calcular los residuos de la misma. No voy a ir a través de toda la derivación, pero la homomórfica componente $J_z$ de la conserva de la actual $J_a$ bajo de conformación de las transformaciones tiene una OPE,
$$J_z(z)\mathcal{O}(w,\bar w)= \dots + \frac{\mathrm{Res}[J_z(z)\mathcal{O}(w,\bar w)]}{z-w} + \dots$$
para un operador genérico $\mathcal{O}$. Es semejante a cuando uno intenta calcular los residuos mediante el cálculo de las Laurent expansión de una función, en lugar de a través de la tediosa límite de la fórmula. Por ejemplo, para$\sin z / z$,,
$$\frac{\sin z}{z} = \frac{1}{z} \left( z-\frac{1}{3!} z^3 + \dots\right) = 1 -\frac{1}{3!} z^2 + \dots$$
El $z=0$ polo es un simple polo, y de Laurent de expansión, podemos concluir que el residuo es cero. Un segundo ejemplo:
$$\frac{e^z}{\sin z} = \frac{1}{z} + 1 + \frac{2z}{3} + \frac{z^2}{3} + \dots$$
El polo $z=0$ es igual de simple, y esta vez el residuo es uno.
