Me gustaría saber si existen otros métodos para resolver ecuaciones como la que se muestra a continuación. No entiendo realmente la teoría detrás del análisis de escalas múltiples y por qué funciona, entiendo algunos de los razonamientos detrás de él, pero no la prueba y la teoría. Elegí una ecuación diferencial para la que creo que funciona y la probé siguiendo un ejemplo de una ecuación similar. Creo que la respuesta parece extraña pero fui muy minucioso en mis cálculos. Agradezco cualquier comentario o consejo a problemas como este, ¡gracias!
\begin{equation}u^{''} +\omega_0^2u=-2\epsilon \mu u^{'}-\epsilon u^2 u^{'} + \epsilon k \cos \Omega t\end{equation} Primero introducimos dos variables de tiempo (rápido y lento) y las definimos como \begin{equation}T_0=t\;\;\;T_1=\epsilon t\end{equation} donde $T_0$ es la escala de tiempo rápido y $T_1$ es la escala de tiempo lento.
La expansión de primer orden del problema es \begin{equation}u(t)=u_0(T_0,T_1)+\epsilon u_1(T_0,T_1)\end{equation} Diferenciando la derivada del tiempo se convierte en \begin{align} \frac{du}{dt}=\frac{\partial u_0}{\partial T_0} \frac{dT_0}{dt}(1)+(\epsilon) \frac{\partial u_1}{\partial T_1} \frac{dT_1}{dt}=\frac{\partial u_0}{\partial T_0}+\epsilon \frac{\partial u_1}{\partial T_1} \end{align} Definir los operadores lineales, y las funciones \begin{equation} D_0=\dfrac{\partial}{\partial T_0},\hspace{10pt} D_1=\dfrac{\partial}{\partial T_1}\end{equation}
La derivada temporal se convierte en $\dfrac{d}{dt}=D_0+\epsilon D_1$ . La derivada temporal de segundo orden se expresa entonces como \begin{equation}\frac{d^2}{dt^2}=(D_0+\epsilon D_1)^2=D_0^2+2D_0D_1 \epsilon +\epsilon ^2 D_1^2\end{equation}
El $\epsilon ^2$ se desprecia el término. Ahora estamos listos para sustituir nuestros resultados en la ecuación original para obtener \pagebreak
$$(D_0^2+2\epsilon D_0 D_1)(u_0+\epsilon u_1)+\omega^2_0(u_0+\epsilon u_1)=-2\epsilon \mu (D_0+ \epsilon D_1)(u_0+\epsilon u_1)-$$$$ \epsilon (u_0+\epsilon u_1)^2(D_0+\epsilon D_1)(u_0+\epsilon u_1) + \epsilon k \cos \mega t $$ $$ \N-implica (D_0^2u_0+\epsilon D^2_0 u_1+2\epsilon D_1D_0 u_0 +2\epsilon ^2D_0 D_1 u_1^2)+\omega_0^2u_0+\epsilon \omega_0^2 u_1=-2\epsilon \mu D_0u_0-2\epsilon^2\mu (...) $$ $$ -\epsilon u^2_0D_0u_0+\epsilon^2(...)+\epsilon k \cos \mega t $$ \begin{equation}\implies D_0 u_0+ \epsilon D_0 u_1 +2 \epsilon D_1 D_0 u_0+ \omega_0^2 u_0+\epsilon \omega_0^2 u_1=-2\epsilon \mu D_0 u_0-\epsilon u_0^2D_0u_0+\epsilon k \cos \Omega t\end{equation} Now we construct a system of differential equations in powers of $ \epsilon$ llamados problemas de orden cero y de primer orden y dados por, \begin{align} D_0^2u_0+\omega_0^2u_0=0\end{align} \begin{align} D^2u_1 +\omega_0^2u_1=-2D_1D_0 u_0-2\mu D_0u_0-u_0^2D_0u_0+k \cos \Omega t \end{align}
La primera ecuación es una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes y tiene solución general \begin{equation}u_0(T_0,T_1)=A(T_1)e^{i\omega_0T_0}+\bar{A}(T_1)e^{-i\omega_0T_0}\end{equation} where $A(T_1)$ is the complex amplitude afterwards. Our next step is to investigate primary resonance of the system, which occurs when the actuation frequency $\Omega$ is near the natural frequency, $\omega_0$. This can be written as \begin{align}\Omega=\omega_0+\epsilon \sigma\\ \Omega T_0=\omega T_0 +\epsilon T_0 \sigma\\\Omega t= \omega T_0+T_1\sigma \end{align}
Sustituimos $u_0$ en la ecuación (2) para obtener, \begin{equation*}D_0^2u_1+\omega_0^2u_1= -2D_0D_1[A(T_1)e^{i \omega_0 T_0}+\bar{A}(T_1)e^{-i \omega T_0}]-2\mu D_0[A(T_1)e^{i\omega_0T_0}+\bar{A}(T_1)e^{-i \omega T_0}]- \end{equation*}\begin{equation} [A(T_1)e^{i\omega_0T_0}+\bar{A}(T_1)e^{-i\omega T_0}]^2D_0u_0+k\frac{e^{i \omega_0 T_0}e^{i\sigma T_1}+e^{-i\omega_0T_1}e^{-i\sigma T_1}}{2}\end{equation}
Así, aplicando las operaciones lineales a lo anterior se obtiene $$-2[A^{'}e^{i\omega_0T_0}(i\omega_0)+\bar{A}^{'}e^{-i\omega_0T_0}(-i\omega_0)]-2\mu[Ae^{i\omega_0 T_0}(i\omega_0)+\bar{A}e^{-i\omega_0T_0}(-i\omega_0)]+$$$$ \bigg(-A^2e^{2i\omega_0T_0}-2A\bar{A}-\bar{A}^2e^{-2i\omega T_0}\bigg)\bigg(Ae^{i\omega_0T_0}(i\omega_0)-\bar{A}e^{- i\omega_0T_0}(i\omega_0)\bigg)+\frac{k}{2}\bigg(e^{i(\omega T_0+\sigma T_1)}+e^{-i(\omega_0 T_0+\sigma T_1)} $$ $$ \implies -2A^{'}e^{i\omega_0T_0}(i\omega_0)+2\bar{A}^{'}e^{-i\omega_0T_0}(i\omega_0)-2\mu Ae^{i\omega_0 T_0}(i\omega_0)+2\bar{A}e^{-i\omega_0T_0}(i \omega_0) $$$$-A^3e^{3i\omega_0T_0}(i\omega_0)+A^2\bar{A}e^{i\omega_0T_0}(i\omega_0)-2A^2\bar{A}e^{i\omega_0T_0}(i\omega_0)+2A\bar{A}^2e^{-i\omega T_0}(i\omega_0)-A\bar{A}^2e^{-3i\omega_0T_0}(i\omega_0)+\bar{A}^3e^{-3i\omega_0T_0}(i\omega_0)$$\begin{equation}+\frac{k}{2}\bigg(e^{i\omega T_0}e^{i\sigma T_1}+e^{-i\omega_0} e^{-i\sigma T_1}\bigg)\end{equation}
Considere $A(T_1)=\dfrac{1}{2}ae^{i\beta}$ donde $a$ y $\beta$ son la amplitud real y la fase de la ecuación de los términos seculares. Los términos seculares son términos no homogéneos que hacen que la función no esté acotada, son inconsistentes con el comportamiento del sistema físico, por lo que deben ser eliminados. Un término es secular si es una solución de la ecuación homogénea. Por lo tanto, la suma del coeficiente de $e^{i \omega T_0}$ debe ser $0$ .
$$-2A^{'}(i\omega_0)-2\mu A(i\omega_0)-A^2\bar{A}(i\omega_0)+\dfrac{k}{2}e^{i\sigma T_1}=0$$ $$e^{-i\beta}\bigg(-a^{'}(i\omega_0)e^{i\beta}+a\beta^{'}\omega_0e^{i\beta}-\mu ae^{i\beta}(i\omega_0)-\frac{1}{8}a^3e^{i\beta}(i\omega_0)+\frac{k}{2}e^{-i\sigma T_1})=0\bigg) $$ \begin{equation}-a^{'}(i\omega_0)+a\beta^{'}\omega_0-\mu a(i \omega_0)-\frac{1}{8}a^3(i \omega_0) +\frac{k}{2}\bigg(\cos(\sigma T_1-\beta)+i\sin(\sigma T-\beta)\bigg)=0\end{equation} Para que toda la función sea cero las partes real e imaginaria deben ser 0. \begin{equation}a\beta^{'}\omega_0+\frac{k}{2}\cos(\sigma T_1-\beta)=0 \end{equation} \begin{equation}-a\omega_0-\frac{1}{8}a^3\omega_0 + \sin(\sigma T_1-\beta)-\mu a \omega_0=0\end{equation} Hacemos un cambio de variables y ponemos $\gamma=\sigma T_1-\beta$ para que $\beta^{'}=\sigma T_1-\gamma^{'}$ . Por lo tanto tenemos que, \begin{equation}a\gamma^{'}=a\sigma +\frac{k}{2\omega_0}\cos \gamma\end{equation} \begin{equation}a^{'}=-\mu a-\frac{1}{8}a^3+ \frac{\sin \gamma}{\omega_0}\end{equation} Los estados estables se producen cuando $a\gamma^{'}=0$ y $a^{'}=0$ por lo tanto tenemos que \begin{equation}-\mu a-\frac{1}{8}a^3 +\frac{\sin \gamma}{\omega_0}=0\end{equation} \begin{equation}a\sigma+\frac{k}{2\omega_0} \cos \gamma=0\end{equation} Por lo tanto, la solución es \begin{equation}\begin{cases} a+\dfrac{1}{8}a^3=\dfrac{\sin \gamma}{\mu \omega_0} \\ a\sigma=-\dfrac{k}{2\omega_0}\cos \gamma \end{cases}\end{equation}
