Buscando ejemplos de extensiones abelianas de $\mathbb{Q}$ que satisface una determinada condición

Question

El teorema de Kronecker-Weber dice que toda extensión abeliana de $\mathbb{Q}$ está contenida en alguna extensión ciclotómica. Un enfoque para demostrar esto es a través de los grupos de ramificación superior. En este enfoque, hay un paso crucial, que dice

Dejemos que $K$ sea una extensión abeliana de $\mathbb{Q}$ tal que $[K:\mathbb{Q}]=p^m$ y $p$ es el único primo de $\mathbb{Z}$ que se ramifica en $K$ . Para demostrar el teorema de Kronecker-Weber, basta con demostrar que cualquier $K$ está contenida en una extensión ciclotómica.

Estoy buscando algunos ejemplos como $K$ . ¿Alguna ayuda?

Answer 1

$\Bbb Q(i), \Bbb Q(\sqrt 2), \Bbb Q(\cos(2\pi/9))$ son algunos ejemplos entre muchos otros.

Answer 2

Supongamos que $p$ impar para la simplificación. Para cualquier número entero $n\ge 1$ Consideremos la extensión ciclómica $L_n = \mathbf Q(\zeta_n)$ obtenido mediante la adición de una primitiva $n$ -raíz de $1$ . Se sabe clásicamente que $Gal(L_1/K)$ es cíclico de orden divisor $(p-1)$ y $Gal(L_{m+1} /L_1)$ es cíclico de orden $p^m$ . Además, como $p$ y $(p-1)$ son coprimos, el grupo abeliano $Gal(L_{m+1}/\mathbf Q)$ es isomorfo al producto directo de $Gal(L_1/\mathbf Q)$ y $Gal(L_{m+1} /L_1)$ (esto es pura teoría de grupos). Se deduce que existe una extensión $K_{m+1}/\mathbf Q$ tal que $L_{m+1}$ es el compositum de $L_1$ y $K_{m+1}$ y $Gal(K_{m+1} /K_1)$ es cíclico de orden $p^m$ . Además, la teoría general de la ramificación en extensiones ciclotómicas (véase, por ejemplo, "Number Fields" de Marcus) nos dice que $p$ es el único primo de $\mathbf Z$ que se ramifica en $L_{m+1}$ (y está totalmente ramificado). El campo $K_{m+1}$ da el ejemplo que querías.