Estoy intentando demostrar que la coordenada baricéntrica del excéntrico del triángulo ABC, donde BC=a, AC=b, y AB=c, y el excéntrico opuesto al vértice A es Ia, es Ia=(-a:b:c). He llegado al punto en el que después de un montón de golpes de proporción tengo que es (ab/(b+c)):CP:BP, donde P es el incentro, pero no tengo ni idea de por dónde seguir. ¿Cuál sería la prueba?
Respuestas
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Una de las mejores formas de "atrapar" las coordenadas baricéntricas es razonando sobre áreas orientadas. De hecho, se puede establecer fácilmente que las coordenadas baricéntricas de cualquier punto $Q$ con respecto a $\triangle ABC$ son:
$$\tag{1}\left(\dfrac{[QBC]}{[ABC]}, \dfrac{[AQC]}{[ABC]}, \dfrac{[ABQ]}{[ABC]}\right) \ \ \text{i.e., proportional to} \ \ ([QBC], [AQC], [ABQ]),$$
donde $[MNP]$ denota el orientado área de $\triangle MNP,$
es decir, $\boxed{+}$ área ordinaria de $\triangle MNP$ si este triángulo tiene una orientación positiva, $\boxed{-}$ zona ordinaria en caso contrario.
Observación mnemotécnica para (1): sustituir, en $[ABC]$ , $Q$ en primer lugar, luego en segundo lugar, luego en tercer lugar, precisamente porque hay un sistema lineal detrás de todo eso (véase la explicación al final de esta página).
Por lo tanto, dejar que $r_A$ sea el radio de este excírculo, las coordenadas baricéntricas de $I_A$ son proporcionales a:
$$[I_ABC]=\boxed{-}\frac12r_A \times a, \ \ \ [AI_AC]=\boxed{+}\frac12r_A \times b, \ \ \ [ABI_A]=\boxed{+}\frac12r_A \times c$$
(área del triángulo = la mitad de la base por la altura) de donde resulta al suprimir el factor común $\frac12r_A.$ (sólo $I_ABC$ tiene orientación negativa).
Explicación de las fórmulas (1):
Considere $\triangle MNP$ , $M(x_M,y_M),N(x_N,y_N),P(x_P,y_P)$ con respecto a un determinado sistema de coordenadas. Tenemos (ver por ejemplo ( http://aleph0.clarku.edu/~ma130/determinantes1.pdf .)):
$$\tag{2}\text{area of} \ \triangle MNP \ := \ [MNP] \ = \ \frac12 \begin{vmatrix}x_M&x_N&x_P\\y_M&y_N&y_P\\1&1&1\end{vmatrix}$$
Ahora, escribamos que un determinado punto $Q$ es el baricentro de $M,N,P$ con los respectivos pesos $m,n,p$ :
$$mM+nN+pP=Q,$$
que equivale a las dos primeras ecuaciones del siguiente sistema:
$$\tag{3}\begin{cases}mx_M&+&nx_N&+&px_P&=&x_Q\\my_M&+&ny_N&+&py_P&=&y_Q\\m&+&n&+&p&=&1\end{cases},$$
la tercera es la condición de normalización.
Ya se puede observar que el determinante del sistema (3) es el determinante que se ha dado en (2).
Así, basta con resolver este sistema aplicando las fórmulas de Cramer para obtener.
$$\left(m=\dfrac{[QNP]}{[MNP]}, n=\dfrac{[MQP]}{[MNP]}, p=\dfrac{[MNQ]}{[MNP]}\right).$$
Véase el bonito documento ( https://cp4space.files.wordpress.com/2012/10/moda-ch10.pdf ) donde, en lugar de "coordenadas baricéntricas", utilizan la antigua denominación "coordenadas areales"). Véase también ( http://www.cut-the-knot.org/triangle/barycenter.shtml ).
Roger Hoover
Puntos
56
Las coordenadas trilineales del $A$ -excentro son triviales $[-1:1:1]$ por la definición de excentro como el centro de un círculo peculiar. La conversión entre coordenadas trilineales y baricéntricas es sencillo (mira después de la ecuación $(9)$ ) y se obtiene que las coordenadas baricéntricas del $A$ -excenter son $[-a:b:c]$ .
