Campo vectorial de coordenadas angulares en $S^1$

Question

Este puesto ha declarado por qué el campo vectorial de coordenadas angulares $\frac{d}{d\theta}$ es global, ya que podemos definir un campo vectorial global que admita un campo vectorial definido localmente $\frac{d}{d\theta}$

Tengo otra pregunta, ¿qué $\theta$ significa en el $\frac{d}{d\theta}$ Desde $\theta$ sólo se define localmente, ¿cómo podemos utilizarlo globalmente?

Answer 1

No hay formal significado de la $\theta$ en $\frac{d}{d\theta}$ . Todo lo que puedes hacer formalmente es pensar en el símbolo $\frac{d}{d\theta}$ como una sola unidad irrompible. No se puede asignar un significado a sus partes que implique su significado como un todo.

Pero transmite un significado informal: que $\theta$ es parte de un abuso informal, y sin embargo útil, de la notación, que dice así.

Existe un acuerdo informal en matemáticas para abusar de la notación del $\theta$ utilizando ese símbolo para representar cualquier coordenada angular definida en cualquier subconjunto abierto adecuado de $S^1$ . Estamos de acuerdo en hacerlo aunque hay muchos subconjuntos abiertos adecuados de $S^1$ y aunque hay muchas coordenadas angulares diferentes definidas en cada uno de esos subconjuntos.

Habiendo aceptado participar en este abuso, el significado informal de $\frac{d}{d\theta}$ es la siguiente: dada cualquier coordenada angular definida en cualquier subconjunto abierto adecuado $U \subset S^1$ la restricción del campo vectorial $\frac{d}{d\theta}$ a $U$ es igual al campo vectorial de coordenadas de la coordenada angular dada.