1 votos

Si $|z| < 1$ , demuestran que $|\operatorname{Arg} \frac{1 + z}{1 − z}| < \frac\pi2$

Si $|z| < 1$ , demuestran que $$\bigg|\operatorname{Arg} \frac{1 + z}{1 z}\bigg| < \frac\pi2$$

Sé cómo resolver esto usando las propiedades pero quería probar con métodos geométricos. Pero por algunas razones, obtuve la respuesta opuesta exacta y todavía no puedo entender dónde está mal.

Esta es mi solución.

my solution

Por si acaso, si la imagen no es clara, dice

Dejemos que $z=x+iy\in\mathbb{C}$ .
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}<1\implies x^2+y^2<1,$ por lo que el punto está en el círculo donde está el centro $(0,0)$ y $r=1.$

$$\operatorname{Arg}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=\arg(1+z)-\arg(1-z)+2k\pi, \ \ k\in\mathbb{Z}$$

$\arg(1+z)$ es el ángulo entre el eje real y $(-1,0)\sim(x,y)$ (digamos A)
$\arg(1-z)$ es el ángulo entre el eje real y $(1,0)\sim (x,y)$ (digamos B)

Entonces tengo que demostrar $A-B<\pi/2$

Y luego dibujo el plano complejo.

Desde $(x,y)$ está en el círculo, el triángulo con $(1,0),(-1,0),(x,y)$ es un triángulo obtuso.

Así, $A+(\pi-B)<\pi /2\implies A-B<-\pi/2,$ que parece lo contrario.

Soy nuevo en el campo/plano complejo por lo que es difícil de conseguir la falacia aquí. ¿Pueden ayudarme? Gracias

2voto

Quanto Puntos 21

Este es quizás un enfoque más sencillo. Nota

$$w=\frac{1+z}{1-z} = \frac{1-|z|^2 + (z-\bar z)}{|1-z|^2} $$

Así, $Re (w)=\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2}>0$ que lleva a $$|\text{Arg}(w)| <\frac\pi2$$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X