Si $|z| < 1$ , demuestran que $$\bigg|\operatorname{Arg} \frac{1 + z}{1 z}\bigg| < \frac\pi2$$
Sé cómo resolver esto usando las propiedades pero quería probar con métodos geométricos. Pero por algunas razones, obtuve la respuesta opuesta exacta y todavía no puedo entender dónde está mal.
Esta es mi solución.
Por si acaso, si la imagen no es clara, dice
Dejemos que $z=x+iy\in\mathbb{C}$ .
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}<1\implies x^2+y^2<1,$ por lo que el punto está en el círculo donde está el centro $(0,0)$ y $r=1.$
$$\operatorname{Arg}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=\arg(1+z)-\arg(1-z)+2k\pi, \ \ k\in\mathbb{Z}$$
$\arg(1+z)$ es el ángulo entre el eje real y $(-1,0)\sim(x,y)$ (digamos A)
$\arg(1-z)$ es el ángulo entre el eje real y $(1,0)\sim (x,y)$ (digamos B)
Entonces tengo que demostrar $A-B<\pi/2$
Y luego dibujo el plano complejo.
Desde $(x,y)$ está en el círculo, el triángulo con $(1,0),(-1,0),(x,y)$ es un triángulo obtuso.
Así, $A+(\pi-B)<\pi /2\implies A-B<-\pi/2,$ que parece lo contrario.
Soy nuevo en el campo/plano complejo por lo que es difícil de conseguir la falacia aquí. ¿Pueden ayudarme? Gracias