14 votos

Demostrar que una expresión es cero para todos los conjuntos de distinto $a_1, \dotsc, a_n\in\mathbb{C}$

Hace un tiempo uno de mis profesores le dio la clase de un problema "que pensar cuando está acostado en la playa."

Bueno, he estado en la playa varias veces desde entonces sin resultado y mi curiosidad finalmente ha compensado mi deseo solucionar el problema personalmente. El problema es el siguiente:

Que $a_1, \dotsc, a_n\in\mathbb{C}$ ser distinto. Demostrar que:

\begin{equation} \sum_{i=1}^n\prod_{j\neq i}\frac{1}{a_i - a_j} = 0 \end{equation}

Es bastante fácil, si tedioso mostrar esta un % determinado $n$pero no estoy seguro sobre cómo generalizar el resultado.

10voto

Alex Bolotov Puntos 249

En primer lugar, asumir $\prod a_i \ne 0$

Ahora considere el grado de $(n-1)^{th}$ polinómica

$$P(z) = \sum_{i=1}^{n} a_i \prod_{j \neq i} \frac{z-a_j}{a_i - a_j }$$

Vemos que el $P(a_i) = a_i$ cada $i$

Así cuenta con al menos $P(z) - z $ $n$ raíces y así debe ser idénticamente $0$.

$$ z \equiv \sum_{i=1}^{n} a_i \prod_{j \neq i} \frac{z-a_j}{a_i - a_j }$$

Ahora poner $z= 0$ en la división anterior por $(-1)^n\prod a_i$ para obtener su identidad.

Si $\prod a_i = 0$, entonces wlog, asume $a_1 = 0$.

Ahora tomar una secuencia de números complejos $c_n \to a_1$, $c_n \neq 0$ y utilizar el $c_n$ $a_1$ y límites.

8voto

Que $$f(z)=\frac{1}{(z-a_1)(z-a_2)\cdots(z-a_n)}$ $ y considerar %#% $ #% por residuos (o la fórmula Integral de Cauchy), el límite es su expresión. Por estimación de $$\lim_{R\to\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=R}f(z)\,dz\ .$, el límite es cero. La conclusión sigue.

3voto

Kelenner Puntos 9148

Otro tipo de respuesta (tenga en cuenta que $n\geq 2$).

Poner $\displaystyle R(z)=\frac{1}{\prod_{i=1}^n (z-a_i)}$. Entonces tenemos $\displaystyle R(z)=\sum_{j=1}^n \frac{c_j}{z-a_j}$. Inmediatamente tenemos que $\displaystyle c_j=\frac{1}{\prod_{i\not =j}^n (a_j-a_i)} $. Tenemos $\displaystyle zR(z)=\sum_{j=1}^n \frac{zc_j}{z-a_j}\to \sum_{j=1}^n c_j$ $z\to \infty$ y $n\geq 2$, $zR(z)\to 0$ $z\to \infty$ y hemos terminados.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X