Demostrar que una expresión es cero para todos los conjuntos de distinto $a_1, \dotsc, a_n\in\mathbb{C}$

Question

Hace un tiempo uno de mis profesores le dio la clase de un problema "que pensar cuando está acostado en la playa."

Bueno, he estado en la playa varias veces desde entonces sin resultado y mi curiosidad finalmente ha compensado mi deseo solucionar el problema personalmente. El problema es el siguiente:

Que $a_1, \dotsc, a_n\in\mathbb{C}$ ser distinto. Demostrar que:

\begin{equation} \sum_{i=1}^n\prod_{j\neq i}\frac{1}{a_i - a_j} = 0 \end{equation}

Es bastante fácil, si tedioso mostrar esta un % determinado $n$pero no estoy seguro sobre cómo generalizar el resultado.

Answer 1

En primer lugar, asumir $\prod a_i \ne 0$

Ahora considere el grado de $(n-1)^{th}$ polinómica

$$P(z) = \sum_{i=1}^{n} a_i \prod_{j \neq i} \frac{z-a_j}{a_i - a_j }$$

Vemos que el $P(a_i) = a_i$ cada $i$

Así cuenta con al menos $P(z) - z $ $n$ raíces y así debe ser idénticamente $0$.

$$ z \equiv \sum_{i=1}^{n} a_i \prod_{j \neq i} \frac{z-a_j}{a_i - a_j }$$

Ahora poner $z= 0$ en la división anterior por $(-1)^n\prod a_i$ para obtener su identidad.

Si $\prod a_i = 0$, entonces wlog, asume $a_1 = 0$.

Ahora tomar una secuencia de números complejos $c_n \to a_1$, $c_n \neq 0$ y utilizar el $c_n$ $a_1$ y límites.

Answer 2

Que $$f(z)=\frac{1}{(z-a_1)(z-a_2)\cdots(z-a_n)}$ $ y considerar %#% $ #% por residuos (o la fórmula Integral de Cauchy), el límite es su expresión. Por estimación de $$\lim_{R\to\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=R}f(z)\,dz\ .$, el límite es cero. La conclusión sigue.

Answer 3

Otro tipo de respuesta (tenga en cuenta que $n\geq 2$).

Poner $\displaystyle R(z)=\frac{1}{\prod_{i=1}^n (z-a_i)}$. Entonces tenemos $\displaystyle R(z)=\sum_{j=1}^n \frac{c_j}{z-a_j}$. Inmediatamente tenemos que $\displaystyle c_j=\frac{1}{\prod_{i\not =j}^n (a_j-a_i)} $. Tenemos $\displaystyle zR(z)=\sum_{j=1}^n \frac{zc_j}{z-a_j}\to \sum_{j=1}^n c_j$ $z\to \infty$ y $n\geq 2$, $zR(z)\to 0$ $z\to \infty$ y hemos terminados.