¿Cómo implica la desigualdad de Bessel la convergencia?

Question

En la conferencia de hoy hemos hablado de la desigualdad de Bessel y su uso para mostrar la convergencia de las secuencias ortonormales en un espacio de Hilbert.

$\sum_{n=1}^\infty \lvert <x,e_n>\rvert^2 \leqslant \lVert x\rVert^2 \implies e_n\to 0$ (débilmente)

No estoy seguro de cómo pasamos de Bessel a la implicación de la convergencia. Entiendo que sabemos que cada $<x,e_n>$ es positivo, y que está acotado por $\lVert x\rVert^2$ pero no estoy seguro de lo que me estoy perdiendo...

Gracias.

Answer 1

Sólo hay que ver que

$$ \sum_{n=1}^\infty \lvert <x,e_n>\rvert^2 $$

es una serie convergente, lo que implica que

$$ \lim_{n\to \infty} \lvert <x,e_n>\rvert^2 = 0. $$

Nota: Utilizamos el hecho

Si $\sum_n a_n $ converge entonces $\lim_{n\to \infty}a_n=0$ .