Cómo probar $(b-2)^2 > 12a(5c + 2)$ proporcionó $(3a + b + 5c)(5c + 2) < 0$ ?

Question

$a$ , $b$ , $c$ son números racionales. Se sabe que $(3a + b + 5c)(5c + 2) < 0$ .

¿Cómo puedo demostrar que $(b-2)^2 > 12a(5c + 2)$ ?

Según la desigualdad de Bernoulli, tengo esto:

$(1 + b - 3)^2 \ge 1 + 2(b - 3) > 12a(5c + 2)$

$2b - 5 > 12a(5c + 2)$

¿Qué debo hacer ahora?

Answer 1

Parece lo siguiente.

Poner $x=3a$ , $y=b-2$ y $z=5c+2$ . Dado $(x+y+z)z<0$ tenemos que demostrar que $y^2>4xz.$ Supongamos lo contrario. Entonces $(x+z)^2\ge 4xz>y^2$ . Así que $|x+z|>|y|$ y el signo de $x+y+z$ es igual al signo de $x+z$ . Entonces $(x+z)z<0$ pero $xz>y^2/4\ge 0$ y $z^2\ge 0$ una contradicción.