Demostrar la ortogonalidad de $\sin (nx)$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ del intervalo $[0, \frac \pi 2]$

Question

Esta pregunta me la hizo mi profesor hace poco y la saqué mal (a pesar de haber completado problemas similares del libro de texto). El principal problema que tuve fue intentar demostrar la ortogonalidad de estas funciones con el intervalo dado (ya que $\sin(\frac \pi 2)$ es $1$ y no $0$ como estoy acostumbrado a resolver). Sólo quiero saber si es posible demostrar que estas funciones son incluso ortogonales en este intervalo, o si era una pregunta trampa y en realidad no son ortogonales. Disculpas por la pregunta tan extensa, pero ¡gracias de antemano!

[la pregunta está en el título]

Answer 1

$$\int_0^{\pi/2}\sin(x)\sin(2x)\;dx = \frac{2}{3} \ne 0.$$

Como ambas funciones son positivas en $[0,\pi/2]$ podemos ver (incluso sin cálculo) que el producto interior no es $0$ .