La energía potencial en la relatividad general

Question

A menudo oigo decir que la relatividad general es muy complicada porque se tienen en cuenta todas las formas de energía, incluida la propia energía de enlace gravitatorio. Tengo dos preguntas:

1. En la relatividad general, los objetos que siguen el movimiento de la gravitación deberían viajar simplemente por la geodésica. En tal "caída libre", ¿por qué habría de haber "energía vinculante"?
2. De las ecuaciones de campo de Einstein, $$R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu},$$ ¿la curvatura no está sólo acoplada al tensor de energía-momento? Por lo que tengo entendido, la energía potencial no está incluida dentro del tensor energía-momento.

Answer 1

1) Deduzco que te refieres a la energía potencial gravitatoria de la partícula de prueba. Pues bien, cualquier cosa de este tipo sólo es útil en la medida en que esté relacionada con un constante de movimiento a lo largo de la geodésica -en el caso del potencial gravitatorio, siendo parte de la energía mecánica conservada, cinética + potencial. (Otro ejemplo podría ser el momento angular).

En GTR, estas constantes vienen dadas por a Campo vectorial matador que es un generador infinitesimal de una isometría: el espaciotiempo "se ve igual" en la dirección de un vector de Killing. La mayoría de los espaciotiempos no tienen ninguno, pero por definición, un espaciotiempo estático tiene un campo vectorial de Killing semejante al tiempo, y siempre se puede poner en la siguiente forma: $$ds^2 = -\lambda dt^2 + d\Sigma^2,$$ donde $d\Sigma^2$ es la métrica de cualquier colector espacial y $\lambda$ es independiente de $t$ . El factor $\lambda^{1/2}$ es comúnmente llamado el Desplazamiento gravitacional al rojo .

Por ejemplo, para el espaciotiempo de Scwarzschild en las coordenadas habituales de Schwarzschild, $\lambda = \left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)$ y la siguiente es una constante de movimiento que representa la energía específica (por masa) de la partícula en caída libre: $$e = \left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)\frac{dt}{d\tau}.$$ Esta es la generalización natural del total mecánico para el caso de Schwarzschild, la simetría esférica permite construir un "potencial efectivo" bastante análogo al caso newtoniano, pero este enfoque es menos útil en general.

2) La energía gravitacional no puede incluirse explícitamente en las ecuaciones de campo de Einstein porque el principio de equivalencia -siempre hay un local marco inercial (el de la caída libre) en el que el espaciotiempo se parece al ordinario, plano y relativista especial. Por lo tanto, si existiera una noción local de energía gravitacional independiente del marco, es decir, un tensor, ese tensor es cero en algún marco local, y por lo tanto cero en cada marco.

Sin embargo, se puede pensar que la no linealidad de la ecuación de campo de Einstein está causada por la propia energía gravitatoria que interactúa con el espaciotiempo. En este sentido, la energía gravitacional está incluida "implícitamente". Otra cosa que se puede hacer es intentar construir otra noción de energía gravitatoria que no sea necesariamente local e independiente del marco, por ejemplo, el pseudotensor de Landau-Liftshitz y otros.