$\int\frac{f}{f'}\mathrm dx=\int\frac{1}{(\ln{f})'}\mathrm dx=\ $ ?

Question

Hace poco vi en otro post que $(\ln{f})'=\frac{f'}{f}$

donde $f=f(x)$

De lo que se deduce que $\int\frac{f'}{f}\mathrm dx=\int(\ln{f})'\mathrm dx=\ln{f}+C$

¿Y si integramos la inversa de esto?

Es decir, ¿qué pasa con $\int\frac{f}{f'}\mathrm dx=\int\frac{1}{(\ln{f})'}\mathrm dx=?$

Answer 1

$$\int\frac{f'}{f}dx=\int(\ln{f})'dx=\ln{f}+C$$ es en realidad sólo una sustitución : $u=f(x) \,;\, du =f'(x) dx$ .

Sobre la segunda pregunta:

$$\int\frac{f}{f'}dx=\int\frac{1}{(\ln{f})'}dx$$

Supongamos que dicha fórmula existe. Sea $g(x)$ sea una función cualquiera y que $f(x)=e^{g(x)}$ .

Entonces la fórmula anterior daría una fórmula general para

$$\int \frac{1}{g'(x)} dx \,.$$

A la inversa, si una fórmula para $\int \frac{1}{g'(x)} dx \,.$ existe, entonces puede obtener su fórmula definiendo $g(x):= \ln |f(x) | \,.$

La pregunta que hace equivale a la existencia de una fórmula para

$$\int \frac{1}{g'(x)} dx \,.$$

Dudo mucho que esto sea cierto, pero no pude encontrar la función trascendente adecuada, seguro que alguien más inteligente lo hará ;)

Answer 2

Damos un ejemplo explícito que completa el argumento de @user9176. Obsérvese en primer lugar que $\dfrac{e^x}{x}$ no tiene una antiderivada elemental. Para un prueba, vea esto. Pero en la notación de @user9176, $$\frac{e^x}{x}=\frac{1}{g'(x)},$$ donde $g'(x)=xe^{-x}$ . Desde $\int xe^{-x}\,dx=-(xe^{-x}+e^{-x})+C$ la función $g(x)$ es una función elemental, y por lo tanto también lo es $f(x)$ , donde $f(x)=e^{g(x)}$ .

Answer 3

Me pregunto si sabe de cambio de variables para una integral indefinida. Puedes leerlo en el sitio web enlazado, pero la idea principal es que $$ \int G'(f(x))f'(x)dx = G(f(x))+c. $$

En su caso, $G(f) = \log f$ así que $\displaystyle{G'(f) = \frac1f}$ y por lo tanto $\displaystyle{\frac{f'}f = G'(f)f'}$ .

Por otro lado, no existe tal función $G$ que $\displaystyle{G(f)f' = \frac{f}{f'}}$ para cualquier función $f$ que es, digamos diferenciable. La explicación ingenua es que si tal función existiera entonces $\displaystyle{G(f) = \frac f{f'^2}}$ lo cual es imposible, ya que el LHS sólo depende de $f$ mientras que el RHS depende de ambos $f$ y $f'$ .