Si $a$ , $b$ y $n$ son enteros positivos tales que $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{n}$ entonces cuál es el número total de pares de $(a,b)$ ?

Question

Si $a$ , $b$ y $n$ son enteros positivos tales que $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{n}$ entonces cuál es el número total de pares de $(a,b)$ ? ¿Y si $a$ , $b$ y $n$ no son necesariamente enteros positivos?

Mi intento:- Si $n$ es pequeño, como

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{5}$$

Simplemente lo convierto en una forma adecuada como esta

$$5a + 5b = ab$$

Después de esto, sólo pruebo a base de golpes y pruebas.

Pero necesito un método adecuado para resolver este tipo de preguntas. Siempre me quedo atascado en ellas durante mucho tiempo.

Answer 1

La forma en que lo redujiste, es prácticamente todo lo que podrías hacer con problemas como estos. En general, tenemos $an+bn=ab$ , por lo que obtenemos $ab+n^{2}-an-bn=n^{2}$ Es decir $(n-a)(n-b)=n^{2}$ Ahora puede comprobar todos los factores de $n^{2}$ y tratar de encontrar manualmente todos los $a,b$ que funcionan.

Answer 2

Si se resuelve más, se ve que: $$b = \dfrac{na}{a-n}$$

Obsérvese que la fracción en el lado derecho, sólo es positiva para $a>n$ . Sólo basta con encontrar todos los enteros $a$ tal que $a-n|an$ . Esto es trivial, estableciendo $a = (k+1)n$ , donde $k$ es cualquier factor de $n$ Esto le dará el conjunto de soluciones.

Answer 3

La respuesta es infinitamente muchos pares.

Dejemos que $a = b$ . Entonces, $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$$

De lo cual obtenemos $n = \frac{a}{2}$ . Esto da $a = b = 2n$ como suficiente para cumplir la ecuación. Como la última ecuación se cumple a su vez con infinitos valores diferentes de $a$ se deduce que hay infinitos pares de $(a,b)$ aunque $a$ , $b$ y $n$ no son necesariamente positivos, y ni siquiera hemos mirado los casos en los que $a \neq b$ .

En cuanto a tu otra pregunta, no puedo ayudarte ya que me encontré con esto por casualidad. No he hecho ningún curso sobre este tema, así que me parece un engaño.