La cardinalidad de los números reales es, de hecho,$2^{\aleph_0}$. Sin embargo $\aleph_1$ es que no se define como $2^{\aleph_0}$ (la cardinalidad del continuo, a menudo denotado $\mathfrak c$), pero se define como el menor cardinalidad estrictamente mayor que $\aleph_0$. Si $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ (lo que se denomina la hipótesis continua), ni puede tampoco ha sido probada ni refutada de ZFC. Por supuesto, usted puede agregar adicional axioma de ZFC, y en que se extendió la teoría de conjuntos, entonces es cierto. Sin embargo, usted puede también añadir el axioma $2^{\aleph_0}\ne\aleph_1$ (es decir, la suposición de que existe un conjunto cuya cardinalidad se encuentra en estricta entre los naturales y los números reales) de ZFC y obtener otro conjunto de la teoría en la que la afirmación es falsa.
Ahora por lo general matemáticos asumir ZFC, no ZFC+hipótesis continua (ni ZFC+negación de la hipótesis continua), por lo tanto es falsa la creencia de que esta relación debe ser verdadera.
Sin embargo, no una falsa creencia de que esta relación es cierto; eso es sólo una improbable creencia. No hay nada incompatible con la hipótesis de que es la verdad; no se puede refutar; sin embargo, usted también puede probar. Pero esto es cierto para muchas cree.
Sin embargo se puede utilizar en una prueba a menos que se especifique de forma explícita como condición previa de lo que quieres demostrar ("asumiendo la hipótesis continua es verdad, ...").
