Isometría del operador adjunto

Question

Supongamos que $T$ actúa entre espacios de Banach $T: X \to Y$ y $T$ es suryente. Se puede definir el operador adjunto $T^*:Y^* \to X^*$ mediante la fórmula $T^*(\varphi):=\varphi \circ T$ . ¿Es cierto que si $T^*$ es una isometría entonces $T$ ¿también lo es? Si es así, ¿por qué es cierto?

Answer 1

Sí. La subjetividad aquí es particularmente importante. Tenga en cuenta que $$ \|T^*\phi\| = \sup_{x \in X} |\phi(T(x))| = \sup_{y \in Y} |\phi(y)| = \|\phi\| $$ Para el caso no subjetivo, tomemos como contraejemplo el operador de desplazamiento a la derecha.