¿Qué haces si te dan la probabilidad de una probabilidad?

Question

Esta es una pregunta extraña que se me acaba de ocurrir. Supongamos que un evento ocurre con una probabilidad definida $p$ . Los datos dados son una función $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ cuya entrada es una probabilidad para el evento dado y cuya salida es la probabilidad de que esa probabilidad sea $p$ . Mi pregunta es si se pueden utilizar estos datos para encontrar $p$ y si es así, ¿cómo? Mi primer pensamiento es que se puede y que esto se lograría integrando la función sobre el intervalo, pero no estoy seguro de cómo justificar esto.

Answer 1

Necesitas un sentido detallado de lo que significa "la probabilidad de que esa probabilidad sea la verdadera probabilidad de que ocurra el evento".

Para concretar esto, imaginemos que la "verdadera distribución de probabilidad" (que llamaré modelo) se elige al azar. Imaginemos que tenemos un conjunto discreto $\mathcal{M}$ de modelos posibles, con una distribución de probabilidad $P(M=m)$ para $m\in \mathcal{M},$ donde $M$ es una variable aleatoria que representa el modelo verdadero. Entonces, si su evento es $A$ tendrías probabilidades condicionales $P(A|M=m)$ para cada modelo posible $m$ . $P(A|M=m)$ es la probabilidad de que el evento $A$ se produce dado que el modelo verdadero es $m$ . Entonces la probabilidad de que el evento ocurra $P(A)$ viene dada por $$P(A) = \sum_{m\in\mathcal{M}} P(A|M=m) P(M=m).$$

Para tomar contacto con sus pensamientos originales, digamos que tenemos $x = P(A|M=m)$ para algún modelo $m$ . Nos gustaría saber 'la probabilidad $x$ es la verdadera probabilidad". Esto podría ser complicado ya que más de un modelo podría producir esta misma probabilidad para el evento $A$ . Sin embargo, si $m$ fueron el único modelo que produjo una probabilidad de $x$ entonces tendríamos $f(x) = P(M=m).$

Podemos tratar la complicación de la siguiente manera: Ya que he sido discreto aquí, supongamos que $x$ es una variable discreta. Entonces tendrías $$f(x) =\sum_{m\in\mathcal{M_x}}P(M=m)$$ donde $\mathcal{M_x} = \{m\in \mathcal{M} : P(A|M=m) = x.\}$ Esto sólo dice que "la probabilidad $x$ es la verdadera probabilidad de $A$ es la probabilidad de que el modelo verdadero tenga $P(A|M)=x.$

Entonces podemos ver que $$\sum_{x}f(x) = \sum_{m\in\mathcal{M}}P(M=m) = 1,$$ ya que acabaremos sumando todas las $P(M=m).$ Así que su idea original de sólo integrar $f(x)$ está apagado.

Pero mira $$ \sum_x xf(x).$$ Eso ponderará cada $P(M=m)$ por $P(A|M=m)$ y saldrá a $P(A).$