Línea Integral $\int_{C} \frac{x dy - y dx}{x^{2}+y^{2}}$

Question

Encuentre $$\int_{C} \frac{x dy - y dx}{x^{2}+y^{2}}$$ a lo largo de la línea discontinua orientada $C$ con vértices $(2,-2)$ , $(4,4)$ , $(-5,5)$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

He observado que $C$ es una curva cerrada que pasa por el origen, por lo que el teorema de Green no se puede aplicar aquí. Además, el campo vectorial no es conservativo, por lo que la integral es distinta de cero.

Answer 1

Una pista: Si toma $C$ como un círculo centrado en el origen con radio $r$ el resultado de la integral no cambia. (¿Por qué?)

Answer 2

Establecer $F(x,y)=\left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{-y}{x^2+y^2}\right)$ Por lo tanto $$...=\int_C F\cdot d\ell\underset{green}{=}\iint_{\text{int}(C)}\text{rot}(F)dxdy$$

que funciona porque $F$ es $\mathcal C^1(\text{int}(C))$

Answer 3

Dejemos que $C_1$ sea el segmento de $(2,-2)$ a $(4,4)$ . Dejemos que $C_2$ sea el segmento de $(4,4)$ a $(-5,5)$ . Dejemos que $C_3$ sea el segmento de $(-5,5)$ a $(2,-2)$ .

En la región simplemente conectada $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ x > 0\}$ el gradiente de $f_1(x,y) = \arctan \dfrac{y}{x}$ es el campo vectorial $\left(\dfrac{-y}{x^2+y^2},\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)$ que es continua en esta región.

Dado que la curva $C_1$ se encuentra completamente en esta región, tenemos $\displaystyle\int_{C_1}\dfrac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2} = f_1(4,4)-f_1(2,-2)$ .

En la región simplemente conectada $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ y > 0\}$ el gradiente de $f_2(x,y) = \text{arccot} \dfrac{x}{y}$ es el campo vectorial $\left(\dfrac{-y}{x^2+y^2},\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)$ que es continua en esta región.

Dado que la curva $C_2$ se encuentra completamente en esta región, tenemos $\displaystyle\int_{C_2}\dfrac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2} = f_2(-5,5)-f_2(4,4)$ .

La curva $C_3$ es un segmento de línea recta, que está parametrizado por $x = t$ , $y = -t$ , para $t \in [-5,2]$ . Esto es bastante fácil de evaluar (deberías obtener que el integrando es $0$ en $C_3$ ).

Por último, suma las tres piezas para obtener la respuesta.