¿Qué es? $n$ en la distribución muestral de la media de la muestra

Question

Mi pregunta es: ¿cuál es el valor correcto a utilizar para " $n$ " en las fórmulas relativas a la media y la varianza de la distribución muestral de la media de la muestra.

Digamos que estamos tomando $25$ muestras de una población $64$ veces. Y queremos calcular $\mu_{\bar{X}}$

Se podría estimar para cada muestra de $25$ elementos $\bar{X}_k=\frac{\Sigma_{i=1}^{25}X_i}{25}$ . Y luego $\mu_{\bar{X}}=\frac{\Sigma_{k=1}^{64}\bar{X}_k}{64}$

Del mismo modo, para la varianza, $\sigma_{\bar{X}}= \sqrt{\frac{\Sigma_{k=1}^{64}(\bar{X}_k- \mu_{\bar{X}})^2}{64}}$

Lo que me hace ser escéptico de que esto sea correcto es que todas las fórmulas para estas estimaciones de parámetros tienen un " $n$ " que parece referirse al tamaño de la muestra. Y en el contexto de lo que estoy preguntando, es que $25$ o $64$ .

En particular en la relación: $\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es $n=25$ o $64$ o tal vez incluso $25\times 64= 1600$ .

Gracias

Answer 1

En primer lugar, tienes razón con tu respuesta. Creo que tu confusión proviene del hecho de que tienes dos situaciones distintas.

Primera situación: se toma una muestra de 25 individuos de una población. Aquí $n=25$ y lo usaste para encontrar $\bar X_k$ .

Segunda situación: tienes 64 de estos d'amples. Aquí $n=64$ . Lo usaste para evaluar $\mu_{\bar X}$ .

Para su desviación estándar $\sigma_{\bar X}$ se trata de valores de la segunda situación, por lo que $n=64$ .

Siempre es muy divertido enfrentarse a esas preguntas de varios niveles. Es importante etiquetar su variable para distinguirlas.

EDITAR OP añadió

En particular relacionando la varianza real de la población con el error muestral de la media: $\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ es $n=25$ o $64$ ?

Una vez más, se trata de definir correctamente la variable.

Nivel $0$ la población tiene una media $\mu$ y una desviación estándar de $\sigma$ .

Nivel $1$ Muestra de tamaño $25$ . Para cada muestra, tendrá una media de $\bar X_k$ y una desviación estándar de $\sigma_k$ (la desviación estándar de la muestra).

La distribución de la media esperada tiene una media de $E[\bar X_k]=\mu$ (lo mismo tiene la población) y una desviación estándar de $$\sqrt{\mathrm{Var}[\bar X_k]}=\frac{\sigma}{\sqrt{25}}$$

Nivel $2$ : $64$ muestras. Usted tomó $64$ Los medios de las muestras evalúan la media.

La media esperada del valor del nivel $2$ La media es $$E[\bar X]=E[\bar X_k]=\mu$$ Y la varianza será $$\sqrt{\mathrm{Var}[\bar X]}=\frac{\sqrt{\mathrm{Var}[\bar X_k]}}{\sqrt{64}}=\frac{\sigma}{\sqrt{25}\sqrt{64}}$$

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TL;DR Ahora para responder sobre su $$\sigma_{\bar X}=\sqrt{\frac{\sum_{k=1}^{64}(\bar X_k -\mu_{\bar X})^2}{64}}$$ Es la desviación estándar de su $64$ media de la muestra, se refiere a la distribución esperada del nivel $1$ . Así que debería ser alrededor de $\frac{\sigma}{\sqrt{25}}$ .

Answer 2

Tengan cuidado. (Esto no es exactamente una respuesta, porque no está claro cuál es tu pregunta exacta).

El número $n$ representa el tamaño de la muestra, pero su pregunta implica muestras de diferentes tamaños de diferentes distribuciones. En concreto, usted habla de

1. Muestras de tamaño $25$ de una distribución.
2. Una muestra de tamaño $64$ de una distribución diferente (la distribución de las medias muestrales para muestras de tamaño $25$ tomada de su primera distribución).

Preguntar "¿Qué es $n$ ?" cuando se habla de dos distribuciones y dos tamaños de muestra es imposible de responder.

Tenga siempre cuidado con su lenguaje. Desde $\mu$ representa la media de la población, nunca se puede "calcular $\mu_{\bar X}$ " a partir de los datos de la muestra, sólo se puede estimar. Creo que lo sabes, pero aun así no deberías decir "calcular $\mu_{\bar X}$ "

También mencionas "el error muestral de la media". No sé qué es eso. No es una descripción clara de un número. Si se tiene mucho cuidado con el lenguaje, a veces las cosas son más claras.

Answer 3

Creo que la notación es la clave aquí, así que espero haber entendido y no haberme confundido.

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con $\mathbb{E}(X)=\mu$ y $Var(X)=\sigma^2$ .

Para tratar la muestra de tamaño 25:

Dejemos que $\bar{X}_{25}=\frac{X_1+...+X_{25}}{25}$ entonces $\mathbb{E}(\bar{X}_{25})=\mu$ y $Var(\bar{X}_{25})=\frac{\sigma^2}{25}$

Aquí cada uno de los $X_i$ son variables aleatorias idénticas y distribuidas independientemente. Por ejemplo $X_3$ es la tercera observación de la muestra de 25, etc.

Tenga en cuenta que cada $X_i$ es una variable aleatoria que es simplemente $X$ disfrazado. De ahí que $\bar{X}_{25}$ es una variable aleatoria.

La expectativa y la varianza de $\bar{X}_{25}$ se puede encontrar fácilmente utilizando las reglas del álgebra para la expectativa y la varianza.

Ahora, la segunda parte. Repitiendo la muestra 64 veces.

Dejemos que $Y=\bar{X}_{25}$ entonces $Y$ es una variable aleatoria con $\mathbb{E}(Y)=\mu$ y $Var(Y)=\frac{\sigma^2}{25}$

Dejemos que $\bar{Y}_{64}=\frac{Y_1+..+Y_{64}}{64}$ y así $\bar{Y}_{64}$ es una variable aleatoria de forma similar a la anterior.

Ahora tenemos $\mathbb{E}(\bar{Y}_{64})=\mu$ y $Var(\bar{Y}_{64})=\frac{\sigma^2}{25\times64}$

Se trata de repetir 64 veces.

Espero que esto ayude.