Dejemos que $n \geq 2$ sea un número entero y $x_1, x_2, \cdots, x_n$ Reales positivos tales que $x_1x_2 \cdots x_n = 1$ . Mostrar: $$\{x_1\} + \{x_2\} + \cdots + \{x_n\} < \frac{2n-1}{2}$$ Nota: $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x$ .
Es $\dfrac{2n-1}{2}$ ¿Optima?
Supongamos que $n\geq2$ , $x_1x_2\cdots x_n=1$ y $$\{x_1\}+\{x_2\}+\ldots+\{x_n\}\geq n-{1\over2}\ .\tag{1}$$ Poner $\tau_i:=1-\{x_i\}>0$ . Entonces $(1)$ implica $\sum_i\tau_i\leq{1\over2}$ en particular, no $\tau_i$ es $=1$ . Por lo tanto, podemos escribir $x_i=m_i-\tau_i$ con $m_i=\lceil x_i\rceil\geq1$ . Como $\prod_i x_i=1$ al menos uno $m_i$ es $\geq2$ . Ahora $$1=\prod_i x_i=\prod_i m_i\cdot\prod_i\left(1-{\tau_i\over m_i}\right)\ .\tag{2}$$ Necesitaremos lo siguiente Lema que se puede demostrar fácilmente utilizando la inducción: Si $n\geq2$ , $x_i>0$ $(1\leq i\leq n)$ y $\sum_i x_i<1$ entonces $$\prod_{i=1}^n(1-x_i)>1-\sum_{i=1}^n x_i\ .$$ Desde $\sum_i{\tau_i\over m_i}<{1\over2}$ obtenemos entonces de $(2)$ la contradicción $$1\geq 2\left(1-\sum_i{\tau_i\over m_i}\right)>2\cdot{1\over2}=1\ .$$
El límite es ciertamente óptimo (si se cumple): dejemos que $x_1= \frac{1}{2}+\varepsilon, x_n= 2-\varepsilon$ y todos los demás $x_i= 1-\varepsilon$ . (No con el mismo número $\varepsilon$ , solo hay que elegir reales positivos muy pequeños como este).
Este ejemplo también sugiere la estrategia de prueba. Podemos suponer que ninguno de los números es entero, ya que entonces una pequeña perturbación conduce a una mejora significativa. Partiremos los índices de manera que $x_1, x_2, \ldots, x_k< 1$ y el resto es mayor que $1$ . Esto es posible con la reindexación de los elementos si es necesario. Tenga en cuenta que debido a la condición $1\leq k\leq n-1$ .
Supongamos que en este último producto hay más de un término que es mayor que $2$ . A continuación, podemos mejorar la función objetivo de nuevo: sustituir uno de esos $x_i$ por $x_i-1$ y multiplicar todos los números $x_1, x_2, \ldots, x_k$ por $\sqrt[k]{\frac{x_i}{x_i-1}}$ . Tenemos que la primera $k$ los números siguen siendo exactamente los de abajo $1$ . Por aplicación sucesiva de este paso, podemos suponer que sólo uno de los números que son mayores que $1$ es mayor que $2$ .
Se puede hacer una simplificación similar si $k\geq 2$ . En ese caso, podemos sustituir primero $x_2$ por $1+\varepsilon$ y $x_1$ por $x_1x_2/(1+\varepsilon)$ , iprobando en la función objetivo.
Así que podemos suponer que $x_1<1$ , $1<x_2, \ldots, x_{n-1}<2$ y $x_n>2$ .
Otros consejos: intenta empujar esos elementos centrales cerca de $1$ mientras se mejora la función objetivo.
Una vez hecho esto, el problema tiene esencialmente una vara, ya que $x_1x_n\approx 1$ y se pueden eliminar fácilmente las partes fraccionarias en la función objetivo, para convertirlo en un simple caso de búsqueda del máximo de una función univariante.
Prueba para $n=2$ .
Uno y sólo uno entre $\lfloor{x_1}\rfloor$ y $\lfloor{x_2}\rfloor$ debe ser igual a $0$ desde $x_1x_2=1$ y si ambos $\{x_1\}$ y $\{x_2\}$ son nulas, la prueba es inmediata.
Poner $x_1=k+\{x_1\}$ donde $k\in\mathbb N^+$ y $\{x_1\}\gt0$ así que $x_2=\{x_2\}=\dfrac{1}{k+\{x_1\}}$ .
Tenemos $\{x_1\}+\{x_2\}=\{x_1\}+\dfrac{1}{k+\{x_1\}}\lt\dfrac{2\cdot2-1}{2}=1+\dfrac12\space\color{red}{\large?}$
Si $k\ge2$ entonces $\{x_1\}+\dfrac{1}{k+\{x_1\}}\le\{x_1\}+\dfrac 12$ así que $\color{red}{\text{ YES}}$ .
Queda por demostrar para $k=1$ . En este caso, si $\{x_1\}+\dfrac{1}{1+\{x_1\}}=\dfrac32$ el número positivo $\{x_1\}$ es la raíz positiva de $$2X^2-X-1=0\Rightarrow\{x_1\}=1,\color{red}{ \text {absurde}}$$ A fortiori para $\{x_1\}+\dfrac{1}{1+\{x_1\}}\gt\dfrac32$ que terminan la prueba.
¿Puede alguien de esto obtener la respuesta general para $n\gt2$ ?
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