¿Pueden considerarse los límites como funcionales lineales (u operadores, según el contexto)?

Question

Ok, así que acabo de empezar Calc I este verano y como ya me siento bastante cómodo con ella desde el instituto, estoy tratando de obtener una perspectiva más rigurosa sobre ella. Ya sé que los límites se comportan linealmente en el sentido de que $$ \lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=\lim_{x \to a}f(x)+\lim_{x \to a}g(x) $$ y $$ \lim_{x \to a}[af(x)]=a \left(\lim_{x \to a}f(x)\right) $$ pero nunca he visto que se describan formalmente como un funcional lineal (u operador lineal si la salida es una función como en el caso de la derivada) en el sentido de que toman un elemento de un espacio de funciones adecuado (para simplificar, tomemos las funciones continuas que forman un espacio vectorial normado de dimensión infinita, digamos $E$ ) tal que $L:E \to \mathbb{R}$ donde $L$ se define por $$ L=\lim_{x \to a} $$ Mi instinto sobre esto es que puede que nunca haya sido útil formalizar la noción de límite como un funcional lineal o que la definición del operador derivado $D:C^{k} \to C^{k-1}$ como $$ Df=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)+f(x)}{h} $$ hace esto tan obvio que nadie habla de ello explícitamente. Otra forma de formular mi pregunta sería:

"¿Los límites pertenecen a qué clase de objetos matemáticos?"

Intenté preguntarle a mi profesora pero ni siquiera entendió lo que le estaba preguntando (es un tipo de AT que tiene buenas intenciones pero claramente no se siente lo suficientemente cómoda con el material para enseñar) así que cualquier idea adicional sería de gran ayuda aquí.

Answer 1

Los límites pueden considerarse definitivamente como funcionales. El problema es que para considerarlos como un funcional, se necesita que el límite esté definido en todos los elementos de un espacio vectorial.

Si se trata de funciones continuas en un conjunto compacto (o en un intervalo, para simplificar las cosas), el límite es simplemente la evaluación en un punto. En cuanto se trata de funciones no continuas (algo muy común en el análisis funcional, como en $L^p$ por ejemplo), los límites tal cual no tienen sentido.

Aun así, se pueden utilizar ideas profundas del análisis funcional para extender un límite desde algunos objetos en los que existe a un entorno más general. Por ejemplo, se puede considerar $\ell^\infty(\mathbb N)$ el conjunto de secuencias acotadas. Por supuesto, no todas las secuencias tienen un límite; pero hay una forma de definir un funcional lineal (muchos, en realidad) que concuerdan con el límite cuando éste existe. Algunas palabras clave de estas ideas (te dejo que las leas si tienes los conocimientos necesarios) son

• Límites de Banach
• Ultrafiltros gratuitos
• La compactación de la piedra-Cech.