Resolver un problema de dinámica 1D que implique resistencia al viento para encontrar una ecuación de velocidad.

Question

Así, se dice que un cuerpo de masa constante m cae verticalmente en el aire sometido a las fuerzas de la gravedad y a la resistencia del viento la resistencia del viento viene dada por la siguiente ecuación $F_r=\gamma v^2$ donde $\gamma$ es una constante positiva el cuerpo no tiene velocidad inicial por lo que $v(0)=0$ queremos demostrarlo, $$v(t)=v_{\infty}(\frac{1-exp(-2\alpha t)}{1+exp(-2\alpha t)})$$

para $t\geq0$ donde $v_{\infty}=-\sqrt{\frac{mg}{\gamma}}$ y $\alpha=\sqrt{\frac{\gamma g}{m}}$

Así que aquí es donde estoy en la solución real no es el problema que utiliza newtons segundo para obtener que la fuerza total es $F_{total}= \gamma v^2-mg$ y luego dividir por $m$ para obtener la aceleración y reordenando para obtener $a=\frac{\gamma}{m}(v^2-\frac{mg}{\gamma})$ se trata de una EDO separable que se puede simplificar con fracciones parciales. Esto me pone, $$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\gamma}{mg}}\int\frac{1}{v - \sqrt{\frac{mg}{\gamma}}}- \frac{1}{v + \sqrt{\frac{mg}{\gamma}}}dv=\int \frac{\gamma}{m}dt$$ que evalúo y uso la condición inicial para obtener, $$ln(\frac{v+v_\infty}{v-v_\infty})=2\alpha t$$ después de jugar con esto por abit lo más cercano que puedo llegar a la respuesta es $$v=v_\infty\frac{1+exp(-2\alpha t)}{1-exp(-2\alpha t)}$$

Cualquier ayuda es muy apreciada también me gustaría pedir disculpas y agradecer de antemano después de escribir esto veo lo mucho de un dolor que es dos escribir todos los símbolos así que gracias de nuevo por la ayuda.

Answer 1

Usted eligió trabajar con $v<0$ Lo cual no es una buena idea en general, ya que puede dar lugar a errores de señalización. En su caso, recuerde que $\int(dx/x)=\ln|x|$ para que:

$$ \int_0^v\left({1\over w-v_\infty}-{1\over w+v_\infty} \right)dw= \ln|v-v_\infty|-\ln|v+v_\infty|=\ln{v-v_\infty\over -v-v_\infty}. $$ Este cambio conduce al resultado correcto.