¿Es la topología euclidiana=usual=estándar en $\mathbb{R}^n$ ¿algo así como la topología discreta?

Question

Es más bien una cuestión conceptual. La topología discreta, entiendo, es esencialmente el conjunto de potencias, así que cada posible subconjunto reunidos para un conjunto $X$ .

Pero cuando se trata de $\mathbb{R}$ ...los elementos son infinitos. Hay infinitos reales dentro de cualquier intervalo, como $0$ a $1$ . La topología euclidiana es inducida por la métrica euclidiana, por lo que básicamente decimos que todos los elementos dentro de una cierta "distancia" son abiertos. Así que tomemos cualquier $x<y \in \mathbb{R}$ y cualquier $c$ que $x<c<y$ está en un conjunto abierto y, en concreto, en la topología. Dado que $x,y$ son arbitrarias... ¿dice esto el conjunto de potencias de $\mathbb{R}$ ?

¿Qué tal en el general $\mathbb{R}^n$ ? No encuentro una forma sensata de describir el conjunto de potencias de los reales aparte de ésta, utilizando la topología euclidiana. Parece que contiene todos los subconjuntos posibles de los reales.

Se agradecería mucho una explicación detallada.

Answer 1

Un punto $x \in X$ se dice que cerca de un conjunto $Y \subseteq X$ si cada vecindad de $x$ se cruza con $Y$ .

En la topología estándar (métrica euclidiana) para $\Bbb R^n$ los puntos cercanos de una bola abierta de radio $r< 1$ centrado en $a$ son los elementos de la bola abierta, y su límite (así, una bola cerrada centrada en $a$ de radio $r$ ). Esto es lo suficientemente flojo como para que tengamos "muchos" puntos cercanos, pero excluyendo cualquier cosa "no demasiado cercana".

Si tomamos la topología discreta en $\Bbb R^n$ (inducido por la métrica discreta), una bola abierta de radio $r < 1$ centrado en $a$ contiene "sólo $a$ ". En otras palabras, en la topología discreta, cualquier otro punto menos $a$ está "muy, muy lejos" de $a$ .

Es decir, la topología habitual y la topología discreta se comportan de forma cualitativamente diferente.

En cuanto a tu pregunta sobre el "tamaño", resulta que el tamaño de la topología euclidiana sobre $\Bbb R$ es del mismo tamaño que $\Bbb R$ mientras que el conjunto de potencias es "mayor" (la prueba de mi primera afirmación se basa en que podemos escribir cualquier intervalo abierto como una unión contable de intervalos abiertos con racional puntos finales, utilizando las secuencias de Cauchy, la segunda afirmación se debe a Cantor, que demostró que no existe una biyección entre $X$ y $2^{X}$ para cualquier set $X$ ).