Argumentar geométricamente que:
$$|z-4i| + |z+4i|=10$$ es una elipse.
He pensado en ello pero no tengo una buena idea. Tengo entendido que son dos distancias, una a $z_o=4i$ y el conjugado, pero ¿entonces qué? ¿Me echas una mano?
Respuestas
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Yves Daoust
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Una pista:
Una elipse es el lugar de los puntos tales que la suma de las distancias a dos focos es constante. Esta es la interpretación geométrica.
Analíticamente:
Desde $$\left|x+i\left(y+4\right)\right|+\left|x+i\left(y-4\right)\right|=10,$$ utilizando el binomio conjugado, tenemos $$\left|x+i\left(y+4\right)\right|-\left|x+i\left(y-4\right)\right|=\frac{\left|x+i\left(y+4\right)\right|^2-\left|x+i\left(y-4\right)\right|^2}{10}=\frac{16y}{10}.$$
Luego se resuelve el primer término y se eleva al cuadrado, $$x^2+\left(y+4\right)^2=\frac14\left(10+\frac{16y}{10}\right)^2$$
Después de la simplificación,
$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1.$$
Una pista:
Recordemos la definición de elipse (en términos de locus de puntos ). Al definir una elipse, fijamos dos puntos, llamados focos, y luego definimos la elipse como el conjunto de todos los puntos cuya suma de las distancias a esos focos es una constante dada.
En efecto, entonces, si llamamos a los focos $F_1,F_2$ y puntos arbitrarios $P$ y llamamos a nuestra constante dada $c$ entonces la elipse es el conjunto de puntos $P$ tal que
$$|\overline{PF_1}| + |\overline{PF_2}| = c$$
es cierto. Por supuesto, esta construcción se hace generalmente en términos de $\Bbb R^2$ pero se desarrolla de forma muy similar en $\Bbb C$ en este caso.
