Si tenemos una base $\{f_1,...,f_n\}$ de $V^*$ ¿podemos dar una base $\{x_1,...,x_n\}$ de $V$ ?

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión $n$ . Sé que si $\{x_1,...,x_n\}$ es una base de $V$ entonces podemos dar fácilmente una base $\{f_1,...,f_n\}$ del espacio dual $V^*$ al establecer $f_i(x_j)=\delta_{ij}$ .

Mi pregunta ahora es:

Si tenemos una base $\{f_1,...,f_n\}$ de $V^*$ ¿es posible dar una base $\{x_1,...,x_n\}$ de $V$ tal que $f_i(x_j)=\delta_{ij}$ ?

¿Qué te parece?

Gracias.

Answer 1

Siempre se puede encontrar este tipo de $x_j$ 's. (no sólo cuando la dimensión de $V$ es finito). Dado que $f_1, \dots, f_n$ son linealmente independientes en $V^\ast$ tenemos que para todos $i \in \{1, \dots, n \}$ , $$ \left(\bigcap_{j \neq i} {\ker{f_j}} \right) \setminus \ker{f_i}\, \neq \emptyset $$ En este puesto puedes encontrar una prueba de por qué esto es cierto. Así que puedes elegir vectores en estas intersecciones y luego los escalas.

Answer 2

Sí, en una dimensión finita, $V$ es $(V^*)^*$ que este el bidual de $V$ es $V$ .