Comprender la solución del sistema de ecuaciones lineales

Question

La imagen de la fila del sistema de ecuaciones lineales contiene los planos correspondientes a cada ecuación. La imagen de columna del sistema de ecuaciones lineales contiene los vectores correspondientes a cada incógnita.

Mientras aprendía álgebra lineal con el libro de Gilbert Strang, me encontré con la siguiente afirmación:

Si $n$ no tienen ningún punto en común (es decir, ninguna solución), o infinitos puntos (es decir, infinitas soluciones), entonces $n$ (vectores que representan las columnas que tienen como entradas los coeficientes de las incógnitas) se encuentran en el mismo plano.

Por ejemplo, consideremos que tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones:

$a_1x+a_2y+a_3z=u$
$b_1x+b_2y+b_3z=v$
$c_1x+c_2y+c_3z=w$

Si los planos que representan estas ecuaciones se cruzan en puntos cero o infinitos, entonces las columnas (o vectores representados por estas columnas): $[a_1,b_1,c_1],[a_2,b_2,c_2],[a_3,b_3,c_3]$ se encuentran en el mismo plano. (Debería haberlos dispuesto verticalmente en lugar de horizontalmente).

Q1. Aunque puedo graficar (en matlab u octave) y ver que en los casos de no solución y de solución infinita, los vectores se encuentran efectivamente en el mismo plano, no soy capaz de captar visualmente / geométricamente / intuitivamente, por qué sucede esto.

Q2. También en el sistema de ecuaciones lineales de la imagen de la fila, la solución del sistema es

• visualmente: la intersección de los planos.
• algebraicamente: el conjunto de valores de las incógnitas/variables que satisfacen las ecuaciones de todos los planos dados.

Sin embargo, ¿qué forma visual y algebraica tiene la solución en la imagen de la columna?

Answer 1

Esto finalmente se reduce a la condición de una matriz $\mathbf{A}$ por lo que la ecuación $\mathbf{Ax=b}$ no tiene solución, una solución o infinitas soluciones. Se puede leer que aquí .

Para su pregunta, considere la ecuación matricial que representa las soluciones del sistema de ecuaciones para $n$ variables $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$ donde $$A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix}, \mathbf{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \mathbf{b}= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$$ Podemos reescribirlo como una combinación lineal de vectores columna: $$x_1 \begin{pmatrix} a_{1,1}\\ \vdots \\ a_{n,1} \end{pmatrix} +x_2 \begin{pmatrix} a_{1,2}\\ \vdots \\ a_{n,2} \end{pmatrix}+ \ldots+ x_n \begin{pmatrix} a_{1,n}\\ \vdots \\ a_{n,n} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}. \tag{2}$$ Este sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones si y sólo si $\text{rank}A<n$ o, en otras palabras, el conjunto de $n$ vectores columna $\left \{ \begin{pmatrix} a_{1,i}\\ \vdots \\ a_{n,i} \end{pmatrix}| 1\le i \le n \right \}$ son linealmente dependientes. Esto significa que existe un vector columna que puede escribirse como una combinación lineal de otros vectores columna. WLOG, podemos suponer que $$ \begin{pmatrix} a_{1,n}\\ \vdots \\ a_{n,n} \end{pmatrix}=\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \begin{pmatrix} a_{1,i}\\ \vdots \\ a_{n,i} \end{pmatrix}, \tag{1}$$ para $\alpha_i$ no todo es cero.

Considere $(n-1)\times n$ matriz $B$ (que finalmente es la transposición de $A$ pero sin el último vector de columna en $A$ ). $$B=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{2,1} & \cdots & a_{n,1} \\ a_{1,2} & a_{2,2} & \cdots & a_{n,2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{1,n-1} & a_{2,n-1} & \cdots & a_{n,n-1} \end{pmatrix}$$ Según el tamaño de $B$ ( $n-1<n$ ), el sistema $\mathbf{Bx}=0$ tendrá infinitas soluciones. Digamos que una de ellas es $\mathbf{x}=\begin{pmatrix} \beta_1\\ \vdots \\ \beta_n \end{pmatrix}$ ( $\mathbf{x}\ne 0$ ). Por lo tanto, desde $\mathbf{Bx}=0$ encontramos $n-1$ vectores columna $\begin{pmatrix} a_{1,i}\\ \vdots \\ a_{n,i} \end{pmatrix} \; (1 \le i \le n-1)$ pertenecen al hiperplano $$P= \left \{ \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}: \beta_1x_1+\beta_2x_2+ \ldots+ \beta_nx_n=0 \right \}.$$ Y como el último vector columna es una combinación lineal de tales $n-1$ vectores columna (de $(1)$ ) por lo que también está en el hiperplano $P$ . En conclusión, todos los $n$ los vectores columna se encuentran en el hiperplano $P$ .

Para tu segunda pregunta, si ves el sistema de ecuaciones como una combinación lineal de vectores columna (como en $(2)$ ) entonces diría que los vectores columna son puntos en $n$ -que puede estar o no en un hiperplano (dependiendo del número de soluciones para $\mathbf{Ax=b}$ como se ha mencionado anteriormente). Nótese que el rango de la matriz $A$ se refiere finalmente a la dimensión del tramo de $n$ vectores columna. Si $\text{rank}A=n$ entonces el sistema tiene una única solución.